Teorema di Weierstrass
Buongiorno a tutti.
Sto preparando il mio primo esame, Analisi 1, e purtroppo non riesco ad arrivare intuitivamente alle dimostrazioni dei teoremi, nonostante abbia studiato il programma dall'inizio, in maniera molto scrupolosa.
Non mi perdo ulteriormente in chiacchiere, ma anzi vi espongo subito il mio problema:
nella dimostrazione di tale teorema, non arrivo a capire varie cose.
La prima fra queste è perchè, se individuo un punto Yo appartenente al codominio f(X), questo dovrebbe dimostrare che appunto il codominio stesso sia limitato e chiuso.
Superato questo dubbio, sicuramente se ne aggiungeranno altri. Infatti, come potete vedere, sono praticamente all'inizio del teorema.
Grazie a tutti,
Francesco.
Ps: so bene che esiste un altro modo di dimostrare questo teorema, che non sfrutta le successioni, ma sfortunatamente la nostra professoressa vuole che il teorema venga dimostrato in quest'altro modo.
Sto preparando il mio primo esame, Analisi 1, e purtroppo non riesco ad arrivare intuitivamente alle dimostrazioni dei teoremi, nonostante abbia studiato il programma dall'inizio, in maniera molto scrupolosa.
Non mi perdo ulteriormente in chiacchiere, ma anzi vi espongo subito il mio problema:
nella dimostrazione di tale teorema, non arrivo a capire varie cose.
La prima fra queste è perchè, se individuo un punto Yo appartenente al codominio f(X), questo dovrebbe dimostrare che appunto il codominio stesso sia limitato e chiuso.
Superato questo dubbio, sicuramente se ne aggiungeranno altri. Infatti, come potete vedere, sono praticamente all'inizio del teorema.
Grazie a tutti,
Francesco.
Ps: so bene che esiste un altro modo di dimostrare questo teorema, che non sfrutta le successioni, ma sfortunatamente la nostra professoressa vuole che il teorema venga dimostrato in quest'altro modo.
Risposte
Si può dimostrare anche osservando che, essendo l'intervallo $[a,b]$ chiuso e limitato allora è anche compatto, per il teorema di Heine-Borel. Essendo la funzione $f:[a,b] \to RR$ continua, trasforma compatti in compatti, per una prorpietà delle funzioni continue, dunque l'immagine di $f$ è un compatto e ammette massimo e minimo
"Sergio":
Un vecchio post, ma credo che la dimostrazione del teorema risulti difficile a parecchi "novizi" (me compreso, of course).
Direi una ottima dissezione del teorema, dei passaggi, del "filo logico".
E' un po' quello che credo sia inevitabile fare, se ci si vuole impadronire di questo teorema, che effettivamente all'inizio spaventa un po'. E probabilmente spesso lo fa per via di un mix maldestro di "filo conduttore" e di dettagli dimostrativi.
Sì, è una buona analisi della dimostrazione sintetica. Il modo migliore di capire il Teorema (non la sua dimostrazione, ma qualcosa che secondo me è più importante della dimostrazione) è vedere perchè (se) non vale indebolendo le ipotesi. Consiglio a Greatkekko di cercare di far questo lavoro.
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