Teorema di weierstrass
sia f:[a,b]-> IR una funzione CONTINUA.
Allora esistono in [a,b] un punto di massimo e minimo assoluto.
qualcuno puo gentilmente dimostrarmelo? ( ho qualche difficoltà a capire la parte finale della dimostrazione...come al solito !
)
grazie
Allora esistono in [a,b] un punto di massimo e minimo assoluto.
qualcuno puo gentilmente dimostrarmelo? ( ho qualche difficoltà a capire la parte finale della dimostrazione...come al solito !
)grazie
Risposte
non c è modo di dimostrarlo senza utilizzare le successioni?
non ci vado molto d'accordo
non ci vado molto d'accordo
"Federico":
non c è modo di dimostrarlo senza utilizzare le successioni?
Certo che sì: una bella dimostrazione topologica.
Lemma: se $S$ e $T$ sono spazi topologici, $\varphi: S \rightarrow T$ è una funzione continua ed $S$ è compatto, allora $\varphi(S)$ è compatto.
Dim.: sia $\{U_i\}_{i \in J}$ una copertura di $\varphi(S)$ tramite aperti della topologia di $T$. Allora $\varphi^{-1}(U_i)$ è aperto nella topologia di $S$, per ogni $i \in J$, siccome $\varphi$ è continua. Dunque l'insieme $A := \{\varphi^{-1}(U_i)\}_{i \in J}$ è una copertura di $S$ tramite aperti. Eppure $S$ è compatto. Di conseguenza esiste una sottofamiglia finita $\{\varphi^{-1}(U_{i_1}), \varphi^{-1}(U_{i_2}), ..., \varphi^{-1}(U_{i_n})\}$ di $A$ che è ancora coprente per $S$. E allora $\{U_{i_1}, U_{i_2}, ..., U_{i_n}\}$ è una sottocopertura di $\varphi(S)$ estratta dalla collezione $\{U_i\}_{i \in J}$. Pertanto $\varphi(S)$ è compatto, q.e.d.
Teorema di Hein-Borel: in $\mathbb{R}^n$ euclideo i compatti sono tutti e soli gli insiemi chiusi e limitati (qui $n$ è ovviamente un intero positivo).
Dim.: omessa.
Teorema di Weierstrass: se $S$ è uno spazio topologico compatto, in $\mathbb{R}$ si adotta l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea e $\varphi: S \rightarrow \mathbb{R}$ è una funzione continua, allora $\varphi$ ammette massimo e minimo assoluto.
Dim.: per via del lemma precedente, $\varphi(S)$ è compatto in $\mathbb{R}$. Dunque $\varphi(S)$ è un intervallo chiuso e limitato della retta, in accordo al teorema di Hein-Borel. Sia perciò $\varphi(S) = [a,b]$, dove $a, b \in \mathbb{R}$. Allora $a = \min f$ e $b = \max f$.
"DavidHilbert":[/quote]
[quote="Federico"]non c è modo di dimostrarlo senza utilizzare le successioni?
Certo che sì: una bella dimostrazione topologica.
Ci sono anche nel link che ho postato, anche se molto "veloci"! Non certo come le tue!
"leonardo":
Ci sono anche nel link che ho postato, anche se molto "veloci"! Non certo come le tue!
Boh, lì vedo soltanto il caso di una funzione reale di variabile reale. Sia come sia, che vuol dire "non certo come le tue"?
Io tra le mani ne ho una che dice cosi ( dato che successioni e coperture non le sopporto ) :
Dimostrazione: ( dimostro l esistenza del massimo assoluto )
Una funzione continua in [a,b] è limitata in [a,b].
Pertanto f è superiormente limitata.
Esiste allora un M appartenente ai reali tale che f(x)<=M per ogni x appartenente ad [a,b] ed il numero M puo essere preso come l estremo superiore dell'immagine f([a,b])={f(x) : x appartiene ad [a,b]}.
Supponiamo per assurdo che non esiste alcun punto x appartenente ad [a,b] t.c. f(x)=M .
Allora la funzione cosi definita h(x)=(1/M-f(x)) è definita in [a,b] ed è continua in [a,b].
Essendo M l estremo superiore dell insieme f([a,b]) si ha che per ogni e>0 esiste un x appartenente ad [a,b] t.c M-f(x)
Cio equivale ad h(x)>(1/e) ,e questo significa che h(x) non è limitata e si va contro l'ipotesi che f è limitata.
quindi una funzione continua in [a,b] ammette per forza massimo e minimo ed è limitata in [a,b]
è giusto tutto cio ?
grazie ancora
Dimostrazione: ( dimostro l esistenza del massimo assoluto )
Una funzione continua in [a,b] è limitata in [a,b].
Pertanto f è superiormente limitata.
Esiste allora un M appartenente ai reali tale che f(x)<=M per ogni x appartenente ad [a,b] ed il numero M puo essere preso come l estremo superiore dell'immagine f([a,b])={f(x) : x appartiene ad [a,b]}.
Supponiamo per assurdo che non esiste alcun punto x appartenente ad [a,b] t.c. f(x)=M .
Allora la funzione cosi definita h(x)=(1/M-f(x)) è definita in [a,b] ed è continua in [a,b].
Essendo M l estremo superiore dell insieme f([a,b]) si ha che per ogni e>0 esiste un x appartenente ad [a,b] t.c M-f(x)
Cio equivale ad h(x)>(1/e) ,e questo significa che h(x) non è limitata e si va contro l'ipotesi che f è limitata.
quindi una funzione continua in [a,b] ammette per forza massimo e minimo ed è limitata in [a,b]
è giusto tutto cio ?
grazie ancora
"Federico":
Dimostrazione: ( dimostro l esistenza del massimo assoluto )
Una funzione continua in [a,b] è limitata in [a,b]. Pertanto f è superiormente limitata. Esiste allora un M appartenente ai reali tale che f(x)<=M per ogni x appartenente ad [a,b] ed il numero M puo essere preso come l estremo superiore dell'immagine f([a,b])={f(x) : x appartiene ad [a,b]}.
Supponiamo per assurdo che non esiste alcun punto x appartenente ad [a,b] t.c. f(x)=M . Allora la funzione cosi definita h(x)=(1/M-f(x)) è definita in [a,b] ed è continua in [a,b]. Essendo M l estremo superiore dell insieme f([a,b]) si ha che per ogni e>0 esiste un x appartenente ad [a,b] t.c M-f(x)(1/e) ,e questo significa che h(x) non è limitata e si va contro l'ipotesi che f è limitata. Quindi una funzione continua in [a,b] ammette per forza massimo e minimo ed è limitata in [a,b]. è giusto tutto cio ?
Sì, è giusto. Però adesso dimmi... Come provi che una funzione continua a valori reali definita su un intervallo chiuso e limitato di $\mathbb{R}$ è limitata?
"DavidHilbert":
Sì, è giusto. Però adesso dimmi... Come provi che una funzione continua a valori reali definita su un intervallo chiuso e limitato di $\mathbb{R}$ è limitata?
con il teorema sulla limitatezza delle funzioni continue definite in un intervallo chiuso immagino
"Federico":
con il teorema sulla limitatezza delle funzioni continue definite in un intervallo chiuso immagino
Ti spiace se ti chiedo di darmene dimostrazione?
"DavidHilbert":
[quote="Federico"]con il teorema sulla limitatezza delle funzioni continue definite in un intervallo chiuso immagino
Ti spiace se ti chiedo di darmene dimostrazione?[/quote]
in poche parole devo farmi entrare in testa le successioni
"Federico":
in poche parole devo farmi entrare in testa le successioni
...o in alternativa i ricoprimenti!
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