Teorema di weierstrass
Ciao a tutti.
mi potete aiutare con questo esercizio
Enunciare il teorema di weierstrass. Dire per quali valori di $ alpha $ $ in R $ il teorema è applicabile alla funzione
$ f(x)={ ( alpha +x ),(cospi x ):} $ $ { ( 1<= x<= 3/2 ),(3/2 < x <= 2 ):} $
nell'intervallo [ 1, 2 ]
(Ps: scusate non sono riuscito a metterli sotto insieme.)
determinare inoltre il massimo e il minimo assoluto di f.
Io ho risolto in questo modo:
Il teorema di weierstrass dice che:
Sia f una funzione continua in un intervallo (a, b) allora f(x) assume massimo e minimo assoluto nell'intervallo (a, b).
per prima cosa mi sono trovato il valore $ alpha$ che renda continua la funzione nell'intervallo [1, 2]
$ f(3/2)= alpha +3/2; $
$ lim_(x -> 3/2 +) cos (3/2pi)= 0 $
$ lim_(x -> 3/2 -) alpha+3/2 $
$ alpha+3/2=0 $
la funzione è continua per valori di $ alpha= - 3/2 $
Ho fatto bene fin'ora?
come faccio a calcolarmi il massimo e il minimo assoluto?
Solitamente per trovarmi i punti di massimo e minimo faccio la derivata prima; in questo caso quale funzione prendo?
mi potete aiutare con questo esercizio
Enunciare il teorema di weierstrass. Dire per quali valori di $ alpha $ $ in R $ il teorema è applicabile alla funzione
$ f(x)={ ( alpha +x ),(cospi x ):} $ $ { ( 1<= x<= 3/2 ),(3/2 < x <= 2 ):} $
nell'intervallo [ 1, 2 ]
(Ps: scusate non sono riuscito a metterli sotto insieme.)
determinare inoltre il massimo e il minimo assoluto di f.
Io ho risolto in questo modo:
Il teorema di weierstrass dice che:
Sia f una funzione continua in un intervallo (a, b) allora f(x) assume massimo e minimo assoluto nell'intervallo (a, b).
per prima cosa mi sono trovato il valore $ alpha$ che renda continua la funzione nell'intervallo [1, 2]
$ f(3/2)= alpha +3/2; $
$ lim_(x -> 3/2 +) cos (3/2pi)= 0 $
$ lim_(x -> 3/2 -) alpha+3/2 $
$ alpha+3/2=0 $
la funzione è continua per valori di $ alpha= - 3/2 $
Ho fatto bene fin'ora?
come faccio a calcolarmi il massimo e il minimo assoluto?
Solitamente per trovarmi i punti di massimo e minimo faccio la derivata prima; in questo caso quale funzione prendo?
Risposte
Quella che hai 
La funzione è una sola però definita differentemente nei due intervalli del dominio; quindi la derivata che otterrai sarà definita differentemente nei due intervalli e poi prosegui come al solito ...
La funzione è una sola però definita differentemente nei due intervalli del dominio; quindi la derivata che otterrai sarà definita differentemente nei due intervalli e poi prosegui come al solito ...
ovviamente devi considerare la funzione nella sua totalità e non è difficile vedere che è strettamente crescente
"axpgn":
Quella che hai
La funzione è una sola però definita differentemente nei due intervalli del dominio; quindi la derivata che otterrai sarà definita differentemente nei due intervalli e poi prosegui come al solito ...
quindi dovrò fare la derivata prima di $ -3/2 +x $ e di $ cos(3/2 pi) $ ??
Sì ... cioè aspetta la seconda è $cos(pix)$ cosa c'entra quello che hai scritto ?
"axpgn":
Sì
$ f'(x+alpha )= 1 $
$ f'(cospix)=0 $
da qui posso vedere che la funzione è crescente, ma non qual'è il punto di massimo
Allora la funzione, per il primo intervallo, è $x-3/2$ e la sua derivata è $1$. Nell'altro intervallo la funzione è $cos(pi*x)$ la cui derivata è $-pi*sen(pix)$. Dove si annullano queste derivate ? La prima mai, la seconda quando $pi*x+k*pi=0$ cioè quando $x+k=0$ e in pratica nell'intervallo che ci riguarda solo nell'estremo $2$. Quindi non si annulla mai nei punti interni e i nostri massimi e minimi saranno negli estremi (verifica)
"axpgn":
la seconda quando $pi*x+k*pi=0$ cioè quando $x+k=0$ e in pratica nell'intervallo che ci riguarda solo nell'estremo $2$. Quindi non si annulla mai nei punti interni e i nostri massimi e minimi saranno negli estremi (verifica)
perchè in 2? come fa ad azzerarsi in 2?
Secondo te quanto vale $-pi*sen(2pi) $? Si parla della derivata, dove si annulla la derivata non la funzione ...
"axpgn":
Secondo te quanto vale $-pi*sen(2pi) $? Si parla della derivata, dove si annulla la derivata non la funzione ...
il seno di $2pi$ è uguale a zero
... e quindi in quel punto si annulla la derivata CVD
a ok.. certo. la mia funzione è crescente nell'intervallo che va da 1 a $3/2$ e da 3/2 a 2
ma molto più semplicemente ,una funzione continua e strettamente crescente in $[a,b]$ è ovvio che abbia minimo assoluto in $a$ e massimo assoluto in $b$
si infatti molto semplicemente seguivo il teorema. 
ti ringrazio per la cortesia.
ciao ciao Piero
riporto in allegato il teorema di weierstrass così come viene dimostrato sul mio testo di riferimento nella speranza che qualcuno possa chiarire i miei dubbi.
1)perchè dice che per le proprietà dell' estremo superiore per ogni n appartenente ad N esiste $x_n$ appartenente ad [a,b] tale che $f(x_n)>n$? per le proprietà dell' estremo superiore non dovrebbe esistere x (e non $ x_n$) appartenente ad [a,b] tale che $f(x)>n$ comunque prendo n?
2)supposto che questo $x_n$ esista perchè questo implicherebbe che $f(x_n)\rightarrow+oo$?
3)non capisco quando asserisce "abbiamo così dimostrato che necessariamente risulta $M<+oo$" perche'?
1)perchè dice che per le proprietà dell' estremo superiore per ogni n appartenente ad N esiste $x_n$ appartenente ad [a,b] tale che $f(x_n)>n$? per le proprietà dell' estremo superiore non dovrebbe esistere x (e non $ x_n$) appartenente ad [a,b] tale che $f(x)>n$ comunque prendo n?
2)supposto che questo $x_n$ esista perchè questo implicherebbe che $f(x_n)\rightarrow+oo$?
3)non capisco quando asserisce "abbiamo così dimostrato che necessariamente risulta $M<+oo$" perche'?
in allegato la seconda parte della dimostrazione
"asromavale":
riporto in allegato il teorema di weierstrass così come viene dimostrato sul mio testo di riferimento nella speranza che qualcuno possa chiarire i miei dubbi.
1)perchè dice che per le proprietà dell' estremo superiore per ogni n appartenente ad N esiste $x_n$ appartenente ad [a,b] tale che $f(x_n)>n$? per le proprietà dell' estremo superiore non dovrebbe esistere x (e non $ x_n$) appartenente ad [a,b] tale che $f(x)>n$ comunque prendo n?
Per la seconda proprietà dell'estremo superiore, se \(\sup f = +\infty\) in corrispondenza di ogni \(\epsilon >0\) è possibile determinare \(x\) nel tuo insieme in modo che \(f(x)>\epsilon\). Ovviamente l'elemento \(x\) dipende dalla scelta di \(\epsilon\) (anche se non in maniera "funzionale"): quindi si può dire che esso è un \(x_\epsilon\).
Se scegli di far variare \(\epsilon\) tra i numeri naturali, è evidente che in corrispondenza di ogni \(n\in \mathbb{N}\) troverai un \(x_n\) tale che \(f(x_n)>n\).
In tal modo riesci a costruire una successione \((x_n)\) di punti del tuo insieme tali che \(f(x_n)>n\) per ogni indice \(n\).
"asromavale":
2)supposto che questo $x_n$ esista perchè questo implicherebbe che $f(x_n)\rightarrow+oo$?
Beh, cosa succede passando la disuguaglianza tra successioni \(f(x_n)>n\) al limite su \(n\)? (Ricorda i teoremi di confronto).
"asromavale":
3)non capisco quando asserisce "abbiamo così dimostrato che necessariamente risulta $M<+oo$" perche'?
Dato che l'insieme è compatto, dalla successione \((x_n)\) ne puoi estrarre una, chiamiamola \((x_{n_k})\) convergente ad un punto \(x\) del tuo insieme e, dato che \(f\) è continua, hai:
\[
lim_k f(x_{n_k}) = f(\lim_k x_{n_k}) = f(x)\; ;
\]
quindi la successione di termine generale \(f(x_{n_k})\), che è estratta da \((f(x_n))\), converge verso \(f(x)\) (che è un numero reale); ma, per il punto precedente, risulta:
\[
\lim_n f(x_n) = +\infty
\]
e dunque il teorema sulle successioni estratte implica che:
\[
\lim_k f(x_{n_k}) = +\infty\; ;
\]
ma ciò è assurdo, perché \((f(x_{n_k}))\) non può avere due limiti differenti.
Pertanto \(\sup f\) non può essre \(=+\infty\) come ipotizzato all'inizio; cioé \(\sup f=M<+\infty\).
tutto chiaro tranne quando dici "quindi la successione di termine generale \( f(x_{n_k}) \), che è estratta da \( (f(x_n)) \), converge verso \( f(x) \) (che è un numero reale)"perchè è un numero reale? $f(x)$ non potrebbe essere $+oo$
Hai mai visto funzioni reali che prendono il valore \(+\infty\)?
Io no.
Io no.
ok grazie mille
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