Teorema di Weierstass
Teorema di Weierstrass: ogni insieme chiuso e limitato in $RR$ ammette massimo e minimo
Teorema di Bolzano-Weierstrass: ogni sottoinsieme proprio $E$ di $RR^n$, limitato e infinito, ammette almeno un punto di accumulazione.
Tra questi due teoremi c'è una qualche correlazione? Se sì, quale?
O sono magari come i milioni di teoremi di Gauss che trattano di cose diversissime?
Teorema di Bolzano-Weierstrass: ogni sottoinsieme proprio $E$ di $RR^n$, limitato e infinito, ammette almeno un punto di accumulazione.
Tra questi due teoremi c'è una qualche correlazione? Se sì, quale?
O sono magari come i milioni di teoremi di Gauss che trattano di cose diversissime?
Risposte
Innanzitutto il teorema di Weierstrass dovresti riguardartelo perchè non dice proprio così....
Teorema di Weierstrass: Una FUNZIONE f definita su un compatto A di $RR^n$(come dire chiuso e limitato) NON VUOTO ed ivi continua è limitata ed assume massimo e minimo su A.
la correlazione seguendo questa catena:
Dal teorema di BW si ottiene:
Sia $E sube RR^n$. Allora E è chiuso e limitato (compatto) se e solo se da ogni successione contenuta in E si può estrarre una sottosuccessione che converge ad un elemento di E.
Questo teorema si usa per la dimostrazione del teorema di Weierstrass perchèsi costruisce una successione che converge ad un punto che è la preimmaigne del massimo (o del minimo) della funzione.
I dettagli li trovi su qualsiasi libro di analisi abbastanza serio.
Teorema di Weierstrass: Una FUNZIONE f definita su un compatto A di $RR^n$(come dire chiuso e limitato) NON VUOTO ed ivi continua è limitata ed assume massimo e minimo su A.
la correlazione seguendo questa catena:
Dal teorema di BW si ottiene:
Sia $E sube RR^n$. Allora E è chiuso e limitato (compatto) se e solo se da ogni successione contenuta in E si può estrarre una sottosuccessione che converge ad un elemento di E.
Questo teorema si usa per la dimostrazione del teorema di Weierstrass perchèsi costruisce una successione che converge ad un punto che è la preimmaigne del massimo (o del minimo) della funzione.
I dettagli li trovi su qualsiasi libro di analisi abbastanza serio.
ok, mi sa che ho fatto un po' di confusione...
studio sul pagani-salsa e subito dopo il teorema di BW, mi mette un'osservazione "sugli insiemi chiusi e limitati (compatti) in $RR$" la cui conclusione è appunto, "un insieme chiuso e limitato in $RR$ ammette massimo e minimo".
Ora questa conclusione NON C'ENTRA NIENTE con il teorema di Weierstrass (la cui dimostrazione mi auguro di trovare in seguito)...
grazie $10^3$
studio sul pagani-salsa e subito dopo il teorema di BW, mi mette un'osservazione "sugli insiemi chiusi e limitati (compatti) in $RR$" la cui conclusione è appunto, "un insieme chiuso e limitato in $RR$ ammette massimo e minimo".
Ora questa conclusione NON C'ENTRA NIENTE con il teorema di Weierstrass (la cui dimostrazione mi auguro di trovare in seguito)...
grazie $10^3$
Ottimo libro. Anch'io a suo tempo ho studiato anche su quel libro. Ho visto l'osservazione sui compatti che fa dopo il th di BW.
Per il th di W lo trovi nel capitolo sulle funzioni continue. Stai attento che il Salsa bara e dimostra che l'immagine di un compatto è un compatto e da questo fa derivare weierstrass come corollario. In realtà sono due modi equivalenti per dire la stessa cosa.
Ps. Il mio esame di analisi1 terminò con una domanda del tipo "Una funzione continua su uno spazio euclideo conserva delle proprietà di alcuni sottinsiemi?", domanda abbastanza mistica perchè si potrebbe rispondere tutto e niente. Io risposi la prima cosa che mi veniva in mente (citando quasi testualmente il Salsa) :"immagine continua di un compatto o di un connesso è rispettivamente compatto o connesso." E così finì il mio esame con il prof tutto contento che gli avevo detto la filastrocca
Per il th di W lo trovi nel capitolo sulle funzioni continue. Stai attento che il Salsa bara e dimostra che l'immagine di un compatto è un compatto e da questo fa derivare weierstrass come corollario. In realtà sono due modi equivalenti per dire la stessa cosa.
Ps. Il mio esame di analisi1 terminò con una domanda del tipo "Una funzione continua su uno spazio euclideo conserva delle proprietà di alcuni sottinsiemi?", domanda abbastanza mistica perchè si potrebbe rispondere tutto e niente. Io risposi la prima cosa che mi veniva in mente (citando quasi testualmente il Salsa) :"immagine continua di un compatto o di un connesso è rispettivamente compatto o connesso." E così finì il mio esame con il prof tutto contento che gli avevo detto la filastrocca
il pagani-salsa non è male, ma purtroppo non ci sono le soluzioni degli esercizi. Sai mica se si possono trovare da qualche parte?
(mentre sul Giusti che arriva a robe di difficoltà folle ci sono anche le soluzioni...)
Del pagani-salsa dicono sia ottima soprattutto Analisi II...
(mentre sul Giusti che arriva a robe di difficoltà folle ci sono anche le soluzioni...)
Del pagani-salsa dicono sia ottima soprattutto Analisi II...
Qualcuno ti avrebbe risposto: "se vuoi le soluzioni degli esercizi, risolvili!", e ad una affermazione del genere c'è poco da controbattere
Il giusti è un ottimo libro per ingegneri gestionali o un valido supporto (e sottolineo SUPPORTO non libro di testo) per quelli che vogliono studiare analisi seriamente. Cmq se vuoi degli esercizi fatti bene ti consiglio il Demidovic (con qualche h da qualche parte... è russo...era...) o il De Michele Forti(s)(non mi ricordo se c'è la s). Lì trovi anche le soluzioni. Per analisi devi affidarti ad un eserciziario dedicato. Gli esercizi a margine dei capitoli dei libri di teoria sono solo riepilogativi, non bastano.
Il giusti è un ottimo libro per ingegneri gestionali o un valido supporto (e sottolineo SUPPORTO non libro di testo) per quelli che vogliono studiare analisi seriamente. Cmq se vuoi degli esercizi fatti bene ti consiglio il Demidovic (con qualche h da qualche parte... è russo...era...) o il De Michele Forti(s)(non mi ricordo se c'è la s). Lì trovi anche le soluzioni. Per analisi devi affidarti ad un eserciziario dedicato. Gli esercizi a margine dei capitoli dei libri di teoria sono solo riepilogativi, non bastano.
"Megan00b":
per ingegneri gestionali
dici? quest'anno lo usano pure in Normale e poi dai i complementi sono veramente difficili!!!
Di esercizi io mi sono fatto l'eserciziario di Gobbino (se sei di Pisa, lo conoscerai di certo) che era tra l'altro il mio prof (
)
Lo conosco di nome; conosco la moglie, la dott.ssa Ghisi, coautrice dell'eserciziario ed eccezionale esercitratrice di analisi, soprattutto confrontata con l'ultimo esercitatore di calcolo differenziale (prima parte di analisi 2) a matematica.
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