Teorema di Stokes

[duff18-votailprof]

Primi esercizi sul teorema di Stokes :
Dato il vettore [tex]$\mathbf{t} = -\mathbf{i}y + \mathbf{j}x[/tex], con l'aiuto del teorema di Stokes dimostrate che l'integrale lunga una curva chiusa continua nel piano xy

[tex]$\frac{1}{2}\oint \mathbf{t} \cdot d \boldsymbol{ \lambda} = \frac{1}{2} \int (xdy - ydx) = A[/tex]

l'area racchiusa dalla curva.
Ho ragionato così:

[tex]$\frac{1}{2}\oint \mathbf{t} \cdot d \boldsymbol{ \lambda} =\frac{1}{2} \int_S \nabla \times \mathbf{t} \cdot d\boldsymbol{ \sigma}= \frac{1}{2} \int_S 2 \, d{\sigma_z} = A[/tex]

non riesco però a interpretare quel [tex]\frac{1}{2} \int (xdy - ydx)[/tex]
Così ad occhio direi che è la componente k di [tex]$ \mathbf{r} \times d \mathbf{r}[/tex].

[cirasa]

Si tratta di una delle applicazioni del teorema di Green che è una conseguenza del teorema di Stokes.
Con le notazioni di Wiki, prendendo [tex]P(x,y)=0[/tex] e [tex]Q(x,y)=x[/tex] ottieni che
[tex]$ A=\int x\,\textrm{d}y[/tex].
Prendendo [tex]P(x,y)=-y[/tex] e [tex]Q(x,y)=0[/tex] ottieni che
[tex]$ A=-\int y\,\textrm{d}x[/tex].
Da cui si ricava che
[tex]$ A=\frac{1}{2}\int -y\,\textrm{d}x+x\,\textrm{d}y[/tex].

[mod="cirasa"]Forse è meglio in Analisi. Sposto.[/mod]

[duff18-votailprof]

Non capisco cosa sono [tex]$P(x,y) , Q(x,y)[/tex],
intendi [tex]$\mathbf{t} = P(x,y)\mathbf{i} + Q(x,y)\mathbf{j}[/tex] ?