Teorema di Stokes
Buonasera, starei cercando di risolvere il seguente esercizi:
I punti a. e b. li ho risolti tranquillamente, non riesco a capire il punto $c.$. Io applicherei il teorema di Stokes, ma per il semplice motivo che è la forma del teorema del rotore l'espressione riportata. Come dovrei muovermi?
Sia $S\sub \mathbb{R}^3$ la superficie definita da $S={(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: z=x^2-y^2, x^2+y^2\leq 4}$
a. Trovare l'espressione del vettore normale alla superficie $S$ nel suo generico punto.
b. Calcolare l'area della superficie $S$.
c. Dimostrare che se $\gamma$ è la curva parametrizzata da $\gamma(t)=(2\cos t, 2\sin t, 4\cos^2t-4\sin^2t)$, per $t \in [0,2\pi]$, allora per ogni campo vettoriale $V$ di classe $C^1$ definito in $\mathbb{R}^3$ si ha che il flusso del rotore di $V$ attraverso $S$ è uguale alla circuitazione di $V$ lungo $\gamma$
$$
\int\int_S (\nabla \times V) \cdot n d\sigma = \oint_\gamma V \cdot d\gamma
$$
dove $n$ denota la normale uscente dalla superficie $S$ e $\oint_\gamma V \cdot d\gamma = \int_\gamma \omega $ (dove $\omega$ è la forma differenziale associata al campo $V$). Quale teorema si applica? Perché?
I punti a. e b. li ho risolti tranquillamente, non riesco a capire il punto $c.$. Io applicherei il teorema di Stokes, ma per il semplice motivo che è la forma del teorema del rotore l'espressione riportata. Come dovrei muovermi?
Risposte
Devi solo dimostrare che la curva $\gamma$ è il bordo della superficie $S$.
La superficie $S$ posso parametrizzarla come
$\varphi = (x,y, x^2-y^2)$
Per passare alla curva che descriva il bordo di una superficie posso passare a una descrizione in coordinate polari, in cui però il raggio è fissato a 2.
$\gamma = (2\cos t, 2 \sin t, 4\cos^2 t - 4\sin^2 t)$
In questo caso coincide esattamente con la curva indicata. Può essere esaustiva come risposta? O troppo povera?
PS: Un dubbio che vorrei togliermi, in generale quando devo passare da una descrizione di superficie a bordo di superficie (dunque descritto da curva), in generale mi è sufficiente mettermi al limite della condizione di vanità di superficie? In questo caso era dettato da una circonferenza di raggio 2.
$\varphi = (x,y, x^2-y^2)$
Per passare alla curva che descriva il bordo di una superficie posso passare a una descrizione in coordinate polari, in cui però il raggio è fissato a 2.
$\gamma = (2\cos t, 2 \sin t, 4\cos^2 t - 4\sin^2 t)$
In questo caso coincide esattamente con la curva indicata. Può essere esaustiva come risposta? O troppo povera?
PS: Un dubbio che vorrei togliermi, in generale quando devo passare da una descrizione di superficie a bordo di superficie (dunque descritto da curva), in generale mi è sufficiente mettermi al limite della condizione di vanità di superficie? In questo caso era dettato da una circonferenza di raggio 2.
Ciao Frostman,
Onestamente non mi è chiaro il tuo dubbio...
Ovviamente se la superficie $S_r \subset \RR^3 $ fosse stata $S_r := {(x,y,z) \in \RR^3: z=x^2-y^2, x^2+y^2 \le r^2} $ si sarebbe avuta per $\gamma_r(t) $ la parametrizzazione seguente:
$\gamma_r (t) = (r cos t, r sin t, r^2 cos^2 t - r^2 sin^2 t) $
L'esercizio proposto si ha nel caso particolare $r = 2 $.
Onestamente non mi è chiaro il tuo dubbio...
Ovviamente se la superficie $S_r \subset \RR^3 $ fosse stata $S_r := {(x,y,z) \in \RR^3: z=x^2-y^2, x^2+y^2 \le r^2} $ si sarebbe avuta per $\gamma_r(t) $ la parametrizzazione seguente:
$\gamma_r (t) = (r cos t, r sin t, r^2 cos^2 t - r^2 sin^2 t) $
L'esercizio proposto si ha nel caso particolare $r = 2 $.
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