Teorema di Stokes
salve ragazzi ho un dubbio per quanto riguarda il teorema di stokes, mi spiego: la formula è :
$ int int_()^()rot(F)\cdot n/|n| dx dy $ poi solitamente si svolge il prodotto scalare, si passa in polari e si risolve.
tuttavia su alcuni esercizi trovo che la norma della normale oltre ad andare a dividere la normale viene anche moltiplicata al numeratore e proprio non riesco a spiegarmi perchè, esempio:
----$ omega=(zdx,xdy,ydz) $ C è la curava intersezione del cilindro: $x^2+y^2=2x$ e il piano $x-y+z=0$
io ho trovato il rotore = $(1,1,1)$ la tangente(che da quanto ho capito ha come comoponenti i parametri di giacitura del piano) = $(1,-1,1)$ e la relativa norma = $1/sqrt(3)$, posso svolgere l'integrale $int int_(C) rot(F)\cdot n/|n|dx dy $ che mi da come risultato $ 1/sqrt(3)int_(0)^(1) rho drhoint_(0)^(2pi) dt $ (essendo passato in polari) e il risultato = $pi/sqrt(3)$
tuttavia la correzione dà come integrale da svolgere $ |n|int int_(C) rot(F)\cdot n/|n|dx dy $ che dà come risultato $pi$
---- ho provato a fare anche un altro esercizio :
Detta S la semisfera definita da
$S := {(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 = 1, z =y -x}$
si calcoli, mediante il teorema di Stokes, il flusso del rotore del campo$ F~ = (x + y, y, z)$ uscente da S
bene, rotore= $(0,0,-1) normale =$(1,-1,1) e quindi versore normale= $(1,-1,1)/(sqrt(3))$
svolgo l'integrale $ int int_(D)^()rot(F)\cdot n/|n|dx dy $ passando poi in polari e il risultato è $-pi/sqrt(3))$ che è corretto, tuttavia in questo caso non ho dovuto rimoltiplicare per la norma della normale.
spero riusciate a spiegarmi il perché, dove ho sbagliato e come fare le prossime volte , GRAZIE!
$ int int_()^()rot(F)\cdot n/|n| dx dy $ poi solitamente si svolge il prodotto scalare, si passa in polari e si risolve.
tuttavia su alcuni esercizi trovo che la norma della normale oltre ad andare a dividere la normale viene anche moltiplicata al numeratore e proprio non riesco a spiegarmi perchè, esempio:
----$ omega=(zdx,xdy,ydz) $ C è la curava intersezione del cilindro: $x^2+y^2=2x$ e il piano $x-y+z=0$
io ho trovato il rotore = $(1,1,1)$ la tangente(che da quanto ho capito ha come comoponenti i parametri di giacitura del piano) = $(1,-1,1)$ e la relativa norma = $1/sqrt(3)$, posso svolgere l'integrale $int int_(C) rot(F)\cdot n/|n|dx dy $ che mi da come risultato $ 1/sqrt(3)int_(0)^(1) rho drhoint_(0)^(2pi) dt $ (essendo passato in polari) e il risultato = $pi/sqrt(3)$
tuttavia la correzione dà come integrale da svolgere $ |n|int int_(C) rot(F)\cdot n/|n|dx dy $ che dà come risultato $pi$
---- ho provato a fare anche un altro esercizio :
Detta S la semisfera definita da
$S := {(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 = 1, z =y -x}$
si calcoli, mediante il teorema di Stokes, il flusso del rotore del campo$ F~ = (x + y, y, z)$ uscente da S
bene, rotore= $(0,0,-1) normale =$(1,-1,1) e quindi versore normale= $(1,-1,1)/(sqrt(3))$
svolgo l'integrale $ int int_(D)^()rot(F)\cdot n/|n|dx dy $ passando poi in polari e il risultato è $-pi/sqrt(3))$ che è corretto, tuttavia in questo caso non ho dovuto rimoltiplicare per la norma della normale.
spero riusciate a spiegarmi il perché, dove ho sbagliato e come fare le prossime volte , GRAZIE!
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