Teorema di scwartz

ludwigZero
Ciao a tutti, non riesco a trovare una spiegazione sul libro di analisi di questo lemma\sottolemma e quel che sia del teorema di Scwartz trattato in meccanica razionale:

(D semplicemente linearmente connesso) $x ((da_i)/(dx_j)) = ((da_j)/(dx_i)) <=> \esiste a_i = (df)/(dx^i)$

(non riesco a fare la derivata parziale a posto di $d$)

Che applicazioni ha? Dove posso trovare degli esempi?
grazie

Risposte
ludwigZero
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Rigel1
Questo lemma/sottolemma è quello che ti dice che una forma differenziale chiusa in dominio semplicemente connesso è esatta; in alternativa, è quello che ti dice che un campo vettoriale irrotazionale in un dominio semplicemente connesso ammette potenziale.

Amartya
Se ti riferisci al teorema di Schwarz senza la t, allora esso ti dice il seguente asserto.

Sia $A$ un aperto di $R^2$, $(x_0,y_0)$ un punto interno ad $A$ ed $f(x,y)$ una funzione derivabile due volte in $A$ allora se le derivate seconde miste sono continue in $(x_0,y_0)$ si ha:

$f_(xy)(x_0,y_0) = f_(yx)(x_0,y_0)$

ora da quanto hai scritto sembrerebbe che tu stia cercando una relazione tra la forma differenziale definita in un insieme stellato o semplicemente connesso e questo teorema.

Esiste infatti un altro teorema che afferma:

Sia $A$ un sottoinsieme aperto di $R^2$ e sia $F(x,y)$ una forma differenziale di classe $C^2$ se la forma differenziale è esatta allora essa è anche chiusa, in simboli significa:

$((df(x,y))/dy)dx = ((df(x,y))/dx)dy$

e questo si dimostra attraverso il teorema di Schwarz.

sempre se ho capito bene

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