Teorema di Schwarz equivalenza enunciati
Studiando analisi 2 mi sono imbattuto nell’importante teorema di schwarz, ho confrontato l’enunciato da due libri differenti e l’ipotesi necessaria per giungere alla tesi è che la funzione sia di classe 2 sull’aperto A, o equivalentemente che sia derivabile due volte sull’aperto A e le derivate seconde, che compongono l’Hessiana, siano continue su A. ( perdonatemi se non sono stato pignolo ma ciò che mi interessa è un altra cosa ).
Bene quindi su ogni libro (o quasi) si sfrutta questa ipotesi per giungere alla tesi che l’hessiana è simmetrica.
Dunque prendo per vera questa formulazione.
Ora studiando anche dagli appunti, la mia prof enuncia il teorema in questo modo: “ sia f:A in R con A aperto su R^n, Derivabile in ogni punto di A rispetto a tutte le variabili, allora se le derivate parziali di f sono differenziabili in un punto di R^n per le derivate seconde l’ordine di derivazion è invertibile (cioè l’Hessiana è simmetrica)”.
Adesso mi sono posto la domanda, sono equivalenti gli enunciati? Cioè è sufficiente dire che tutte le derivate parziali di f sono Differenziabili <=> tutte le derivate seconde sono continue perché se così fosse allora non avrei problemi.
Purtroppo non riesco a trovare questa equivalenza e neppure a verificare che la condizione di differenziabilitá delle derivate parziali di f con la derivanilità di f, sia una condizione più forte dell’ avere la funzione f di classe 2.
Potrei capire gentilmente quest’equivalenza tra gli enunciati?
Spero di essere stato abbastanza chiaro, grazie ancora di tutto
Bene quindi su ogni libro (o quasi) si sfrutta questa ipotesi per giungere alla tesi che l’hessiana è simmetrica.
Dunque prendo per vera questa formulazione.
Ora studiando anche dagli appunti, la mia prof enuncia il teorema in questo modo: “ sia f:A in R con A aperto su R^n, Derivabile in ogni punto di A rispetto a tutte le variabili, allora se le derivate parziali di f sono differenziabili in un punto di R^n per le derivate seconde l’ordine di derivazion è invertibile (cioè l’Hessiana è simmetrica)”.
Adesso mi sono posto la domanda, sono equivalenti gli enunciati? Cioè è sufficiente dire che tutte le derivate parziali di f sono Differenziabili <=> tutte le derivate seconde sono continue perché se così fosse allora non avrei problemi.
Purtroppo non riesco a trovare questa equivalenza e neppure a verificare che la condizione di differenziabilitá delle derivate parziali di f con la derivanilità di f, sia una condizione più forte dell’ avere la funzione f di classe 2.
Potrei capire gentilmente quest’equivalenza tra gli enunciati?
Spero di essere stato abbastanza chiaro, grazie ancora di tutto
Risposte
"Il_Drugo":
Cioè è sufficiente dire che tutte le derivate parziali di f sono Differenziabili <=> tutte le derivate seconde sono continue perché se così fosse allora non avrei problemi.
E allora non hai problemi
E' così. Se una funzione è differenziabile allora le derivate parziali sono continue.
Le derivate parziali sono ancora funzioni,no? Quindi se sono differenziabili, le loro derivate sono continue.
Una funzione di classe $C^2$ significa appunto questo.
Falso, Bokonon. Essere differenziabile è leggermente più debole che avere le derivate continue. Non è molto importante, ma in effetti l'enunciato della professoressa di Il_Drugo è migliore di quello standard.
@Bokonon: se ti vuoi divertire, questo è un enunciato nelle ipotesi minime possibili. È roba un po' difficile, e non molto utile, secondo me. I problemi in bassa regolarità oggi si trattano con la teoria delle distribuzioni, proprio per aggirare questi problemi fastidiosi. Come dice Rudin nel suo libro di analisi funzionale, "the theory of distributions frees differential calculus from certain difficulties that arise because nondifferentiable functions exist".
@dissonance
Ho dato un'occhiata ma non è alla mia portata dato che non so una mazza di topologia.
Però ho esplorato un poco e mi pare di capire che:
a) la differenziabilità non garantisca che le derivate siano continue (e ho trovato il classico controesempio).
b) il teorema di Young (che assume la differenziabilità delle derivate parziali) assicuri solo che $f_(xy)=f_(yx)$ ma non che siano continue per il punto a)
Ho capito bene?
Ho dato un'occhiata ma non è alla mia portata dato che non so una mazza di topologia.
Però ho esplorato un poco e mi pare di capire che:
a) la differenziabilità non garantisca che le derivate siano continue (e ho trovato il classico controesempio).
b) il teorema di Young (che assume la differenziabilità delle derivate parziali) assicuri solo che $f_(xy)=f_(yx)$ ma non che siano continue per il punto a)
Ho capito bene?
A) ok.
B) si, non sapevo si chiamasse teorema di Young, comunque è quello il punto.
B) si, non sapevo si chiamasse teorema di Young, comunque è quello il punto.
Quindi in buona sostanza da un punto di vista dei predicati si ha che :
1)f€C^2(A) => Matrice Hessiana Simmetrica
2) f derivabile su A e derivate parziali differenziabili su A => Matrice Hessiana Simmetrica
Quindi (1)=>(2)=> M.H.S. ma non è vero l’implicazione inversa.
In altri termini è sufficiente provare che in quel punto esiste il piano tangente al grafico di f oppure che esiste un polinomio che approssima f in quel punto per dire che
L’ordine di derivazione è invertibile? Mi sembra così poco intuitivo, nel senso che quando si dimostra Schwarz la strategia è quella di determinare due funzioni in una variabile, derivabili su intervalli chiusi e limitati, e applicare due volte il teorema di Lagrange per costruire un rettangolo più piccolo di centro P0, dove le immagini delle funzioni risultano essere equivalenti, così applicando il teorema del confronto e sfruttando l’ipotesi di continuitá si arriva alla tesi. Cioè l’ipotesi di continuitá delle derivate seconde è fondamentale, infatti senza non si riuscirebbe a dire che l’ordine di derivabilitá è invertibile, se venisse a mancare quell’ ipotesi potrebbe darsi che i limiti in quei punti risultino essere diversi, anche se la funzione sembri convergere, seguendo la strategia del metodo di lagrange... una spiegazione un po’ strana potrebbe essere che l’unica discontinuità della funzione, se le derivate prime siano differenziabili, sia di tipo eliminabile, quindi non so magari si potrebbe estendere per continuità e quindi far valere lo stesso la tesi, ma questa è solo una ipotesi stupidella.
Tu cosa ne pensi, che strategia si potrebbe usare per provare l’enunciato?
Comunque grazie ancora per le risposte
1)f€C^2(A) => Matrice Hessiana Simmetrica
2) f derivabile su A e derivate parziali differenziabili su A => Matrice Hessiana Simmetrica
Quindi (1)=>(2)=> M.H.S. ma non è vero l’implicazione inversa.
In altri termini è sufficiente provare che in quel punto esiste il piano tangente al grafico di f oppure che esiste un polinomio che approssima f in quel punto per dire che
L’ordine di derivazione è invertibile? Mi sembra così poco intuitivo, nel senso che quando si dimostra Schwarz la strategia è quella di determinare due funzioni in una variabile, derivabili su intervalli chiusi e limitati, e applicare due volte il teorema di Lagrange per costruire un rettangolo più piccolo di centro P0, dove le immagini delle funzioni risultano essere equivalenti, così applicando il teorema del confronto e sfruttando l’ipotesi di continuitá si arriva alla tesi. Cioè l’ipotesi di continuitá delle derivate seconde è fondamentale, infatti senza non si riuscirebbe a dire che l’ordine di derivabilitá è invertibile, se venisse a mancare quell’ ipotesi potrebbe darsi che i limiti in quei punti risultino essere diversi, anche se la funzione sembri convergere, seguendo la strategia del metodo di lagrange... una spiegazione un po’ strana potrebbe essere che l’unica discontinuità della funzione, se le derivate prime siano differenziabili, sia di tipo eliminabile, quindi non so magari si potrebbe estendere per continuità e quindi far valere lo stesso la tesi, ma questa è solo una ipotesi stupidella.
Tu cosa ne pensi, che strategia si potrebbe usare per provare l’enunciato?
Comunque grazie ancora per le risposte
Hai scritto un muro di testo, francamente non si capisce molto dopo "In altri termini...". Se riesco a trovare un vecchio link sull'argomento lo posterò qui.
Eccolo qua:
viewtopic.php?p=8309654#p8309654
L'idea è che le derivate miste dovrebbero "sempre" poter essere scambiate, se questo non succede è perché siamo su qualche punto eccezionale, è una cosa patologica, come si dice in matematica.
Eccolo qua:
viewtopic.php?p=8309654#p8309654
L'idea è che le derivate miste dovrebbero "sempre" poter essere scambiate, se questo non succede è perché siamo su qualche punto eccezionale, è una cosa patologica, come si dice in matematica.
Darò subito un occhiata, ad ogni modo avevo scritto da telefono pertanto non ho potuto rincotrollare in maniera sufficiente il testo del messaggio, per renderlo più comprensibile. Ciò che dicevo era semplicemente questo: " dato che nella dimostrazione è richiesta la continuità delle derivate seconde per provare che i due limiti siano uguali, allora in mancanza di questa ipotesi e in presenza di quella della differenziabilità delle derivate prime, affinchè valga ancora la tesi, dovrebbe significare che o la funzione non è patologica ( tipo definita a clausole ) o al più in quel punto, per le derivate seconde, esiste una discontinuità di tipo eliminabile" o non è necessariamente vero quello che sto dicendo?
ti ringrazio per tutto ancora una volta
ti ringrazio per tutto ancora una volta
No, non è necessariamente vero quello che dici. È troppo complicato. Il teorema ti dice che se una funzione è differenziabile due volte, allora le derivate miste sono uguali. Molte volte si enuncia il teorema richiedendo che le derivate seconde siano continue, ma in effetti è una ipotesi eccessiva. Tutto qui.
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