Teorema di schwarz
Ragazzi ho trovato enunciati differenti per il teorema di schwarz, ovvero alcuni dicono che una funzione ha derivate miste uguali se è di classe (C^2).
Mentre altri indeboliscono l'ipotesi affermando che, affinché le derivate miste siano uguali, basta che sia differenziabile due volte.
Sono corrette entrambe?? E se è così che senso avrebbe scrivere enunciati del teorema con delle ipotesi superflue??(cioè, se basta che sia differenziabile due volte, non ha senso dire anche che deve essere di classe C^2)
Mentre altri indeboliscono l'ipotesi affermando che, affinché le derivate miste siano uguali, basta che sia differenziabile due volte.
Sono corrette entrambe?? E se è così che senso avrebbe scrivere enunciati del teorema con delle ipotesi superflue??(cioè, se basta che sia differenziabile due volte, non ha senso dire anche che deve essere di classe C^2)
Risposte
L'ipotesi più debole, di fatto, rischia di non essere sufficiente: le derivate seconde devono essere continue (come evidente se analizzi la dimostrazione del teorema, che puoi reperire qui).
Un esempio classico del perchè tale condizione sia necessaria è una funzione - citata anche su Wikipedia e dovuta a Peano - per la quale di fatto l'ordine di derivabilità non è invertibile, ma che risulta conforme alle condizioni poste dal teorema di Schwarz "in forma debole":
$f(x, y) = xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) $ per $(x, y) != (0, 0)$
$f(x, y) = 0$ per $(x, y) = (0, 0)$
Un esempio classico del perchè tale condizione sia necessaria è una funzione - citata anche su Wikipedia e dovuta a Peano - per la quale di fatto l'ordine di derivabilità non è invertibile, ma che risulta conforme alle condizioni poste dal teorema di Schwarz "in forma debole":
$f(x, y) = xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) $ per $(x, y) != (0, 0)$
$f(x, y) = 0$ per $(x, y) = (0, 0)$
ma allora perché nel "Bertsch-Giacomelli" c'è il teorema di schwarz scritto così:
"Siano f: A-->R, con A$in$R^n aperto e x$in$A. Se f è due volte differenziabile in x, allora le derivate miste sono uguali"
Se è un'ipotesi non sufficiente dovrebbe esserci scritto che la funzione deve essere obbligatoriamente di classe C^2.
"Siano f: A-->R, con A$in$R^n aperto e x$in$A. Se f è due volte differenziabile in x, allora le derivate miste sono uguali"
Se è un'ipotesi non sufficiente dovrebbe esserci scritto che la funzione deve essere obbligatoriamente di classe C^2.
forse si è confuso e voleva scrivere l'inverso, ovvero:"Siano f: A-->R, con A∈R^n aperto e x∈A. Se le derivate miste sono uguali in x allora f è due volte differenziabile"
Il libro riporta il teorema correttamente: esiste infatti un altro teorema (che è il teorema del differenziale totale) il quale enuncia che una funzione è differenziabile (ricorda che "derivabile" e "differenziabile" non sono sinonimi, se si parla di funzioni in più variabili) se ammette derivate parziali tutte continue.
si ma che c'entra questo col teorema di schwartz?? spiegati esaustivamente perfavore! o meglio spiegami perché il teorema enunciato in questo modo è corretto: "Se f è due volte differenziabile in x, allora le derivate miste sono uguali"
a ho capito quello che vuoi dire, ma hai scritto il teorema del differenziale totale in modo sbagliato: se f $in$C^k allora è differenziabile k volte, e non il contrario!!
a no giusto l'hai scritto scusa(è come il mio ma costruito il maniera diversa) ahahaha; ma appunto per questo non c'entra col teorema di schwarz proprio perché una funzione differenziabile k volte non implica derivate di ordine k continue; bensì quelle continue sono quelle di ordine (k-1).
Scusa per tutte queste risposte ti scrivo quest'ultima per fartela breve; cioè secondo me il teorema dovrebbe essere:
"Siano f: A-->R, con A∈R^n aperto e x∈A. Se f è TRE VOLTE differenziabile in x, allora le derivate miste sono uguali"
Così se mettiamo tre garantiamo la continuità delle derivate miste.
"Siano f: A-->R, con A∈R^n aperto e x∈A. Se f è TRE VOLTE differenziabile in x, allora le derivate miste sono uguali"
Così se mettiamo tre garantiamo la continuità delle derivate miste.
Una funzione è differenziabile due volte se le sue derivate prime sono tutte differenziabili (ovviamente), e dunque se rispettano il teorema del differenziale totale. Cosa vuol dire questo? Che tutte le derivate seconde della funzione di partenza devono essere continue, affinchè essa sia due volte differenziabile!
Per questo ti ho citato il teorema del differenziale totale: perchè, con uno sviluppo logico elementare, si può comprendere come estendere il concetto di differenziabilità alle funzioni di classi superiori alla prima, e dunque capire perchè il teorema di Schwarz è stato riportato in quella forma.
Così va anche bene... ma solo perchè una funzione differenziabile tre volte lo è senza dubbio anche due volte
Come ti ho spiegato sopra, l'enunciato del libro va benissimo.
PS: secondo me, tu continui a confondere derivabilità e differenziabilità. Sono due cose diverse, e ti invito a leggere, in merito, quanto ho scritto qui: viewtopic.php?f=36&t=150334&p=942180#p942180
PS-2: ti sarei molto grato se nel seguito evitassi di scrivere 5-6 post di fila: ho già abbastanza mal di testa per conto mio, mettermi pure a seguire l'evoluzione del tuo pensiero in 5-6 post (tra l'altro, perdonami, nemmeno scritti in maniera eccelsa) mi sarebbe fatale
Per questo ti ho citato il teorema del differenziale totale: perchè, con uno sviluppo logico elementare, si può comprendere come estendere il concetto di differenziabilità alle funzioni di classi superiori alla prima, e dunque capire perchè il teorema di Schwarz è stato riportato in quella forma.
"manlio":
Scusa per tutte queste risposte ti scrivo quest'ultima per fartela breve; cioè secondo me il teorema dovrebbe essere:
"Siano f: A-->R, con A∈R^n aperto e x∈A. Se f è TRE VOLTE differenziabile in x, allora le derivate miste sono uguali"
Così se mettiamo tre garantiamo la continuità delle derivate miste.
Così va anche bene... ma solo perchè una funzione differenziabile tre volte lo è senza dubbio anche due volte
Come ti ho spiegato sopra, l'enunciato del libro va benissimo.
PS: secondo me, tu continui a confondere derivabilità e differenziabilità. Sono due cose diverse, e ti invito a leggere, in merito, quanto ho scritto qui: viewtopic.php?f=36&t=150334&p=942180#p942180
PS-2: ti sarei molto grato se nel seguito evitassi di scrivere 5-6 post di fila: ho già abbastanza mal di testa per conto mio, mettermi pure a seguire l'evoluzione del tuo pensiero in 5-6 post (tra l'altro, perdonami, nemmeno scritti in maniera eccelsa) mi sarebbe fatale
"wrugg25":
Una funzione è differenziabile due volte se le sue derivate prime sono tutte differenziabili (ovviamente), e dunque se rispettano il teorema del differenziale totale. Cosa vuol dire questo? Che tutte le derivate seconde della funzione di partenza devono essere continue, affinchè essa sia due volte differenziabile!:wink:
Allora carissimo qui sei tu che non sai scrivere chiaramente e limpidamente. Ti ricordo che il teorema del differenziale totale ci fornisce una condizione SOLO SUFFICIENTE per la differenziabilità e quindi non è INVERTIBILE.
Quindi forse ti sfugge ma una una funzione è differenziabile due volte quando la stessa è differenziabile e quando le sue derivate parziali sono differenziabili. Quindi una funzione è differenziabile k volte quando la stessa è differenziabile (k-1) volte e quando le derivate di ordine (k-1) sono differenziabili.
In conclusione non è vero che una funzione è differenziabile 2 volte quando le sue derivate rispettano il teorema del differenziale totale come dici tu, proprio perché il teorema in questione è solo una condizione sufficiente.
Allora, cercherò di esprimermi in maniera elementare e quanto più possibile esaustiva (così magari la chiudiamo qui, che il tuo tono non mi piace e onestamente io non voglio mettermi a perdere tempo con chi si rivolge in questo modo: ricorda sempre che nessuno è obbligato ad aiutarti e a decifrare ciò che scrivi, quindi se uno ti fa educatamente notare qualcosa e/o cerca di aiutarti, che abbia ragione o meno, è sempre il caso di essere educati):
Una funzione è differenziabile se -> è derivabile e rispetta la formula dell'incremento finito
Se una funzione rispetta la formula dell'incremento finito, è facile dimostrare che l'esistenza della sua derivata in un punto implica la sua continuità (della funzione, non della derivata) in quel punto.
Le derivate parziali di una funzione sono differenziabili se -> sono derivabili e rispettano la formula dell'incremento finito
Come sopra, se rispettano la formula dell'incremento finito, allora si può dimostrare che dove sono derivabili sono anche continue.
Dunque, ricordando quanto appena detto e procedendo con una catena logica:
Una funzione è differenziabile in un punto -> è continua in quel punto e ammette ivi derivate prime -> se anche le derivate prime sono differenziabili in quel punto -> esse sono continue e la funzione ammette ivi derivate seconde
E fin qui è quello che hai scritto tu, giusto?
Bene, a questo io ho aggiunto che tutte le funzioni per le quali vale il teorema del differenziale totale sono senza dubbio differenziabili due volte (quella del teorema è una condizione sufficiente, come hai giustamente evidenziato), ed inoltre garantiscono la continuità delle derivate seconde, dunque rispettano il teorema di Schwarz. Ma non ho mai detto che ogni funzione differenziabile due volte rispetti per forza il teorema di Schwarz: ho per l'appunto scritto:
Quindi, non solo ho detto che in generale la "doppia differenziabilità" non basta, ma ho anche portato un esempio che lo dimostra!
Purtroppo, nel post successivo mi sono espresso male, e ho scritto:
Quando invece volevo scrivere:
Tant'è che, subito dopo, ho scritto che la tua enunciazione del teorema è, secondo me, corretta.
Da dove è nato l'equivoco? Semplice, quanto volevo mostrarti io (purtroppo, credo di non esserci riuscito) è che l'enunciato del tuo libro si riferisce, probabilmente, alle sole funzioni per le quali vale il teorema del differenziale totale.
Comunque, ritengo che se tu avessi letto i link che ti ho riportato (cosa che dubito tu abbia fatto) probabilmente i miei intenti ti sarebbero stati (fermo restando i miei errori, dovuti al fatto che sto scrivendo dal cellulare usando Teamviewer per connettermi al computer) più chiari.
Detto questo, io tutto quello che dovevo spiegare l'ho scritto, e la chiudo qui.
Una funzione è differenziabile se -> è derivabile e rispetta la formula dell'incremento finito
Se una funzione rispetta la formula dell'incremento finito, è facile dimostrare che l'esistenza della sua derivata in un punto implica la sua continuità (della funzione, non della derivata) in quel punto.
Le derivate parziali di una funzione sono differenziabili se -> sono derivabili e rispettano la formula dell'incremento finito
Come sopra, se rispettano la formula dell'incremento finito, allora si può dimostrare che dove sono derivabili sono anche continue.
Dunque, ricordando quanto appena detto e procedendo con una catena logica:
Una funzione è differenziabile in un punto -> è continua in quel punto e ammette ivi derivate prime -> se anche le derivate prime sono differenziabili in quel punto -> esse sono continue e la funzione ammette ivi derivate seconde
E fin qui è quello che hai scritto tu, giusto?
Bene, a questo io ho aggiunto che tutte le funzioni per le quali vale il teorema del differenziale totale sono senza dubbio differenziabili due volte (quella del teorema è una condizione sufficiente, come hai giustamente evidenziato), ed inoltre garantiscono la continuità delle derivate seconde, dunque rispettano il teorema di Schwarz. Ma non ho mai detto che ogni funzione differenziabile due volte rispetti per forza il teorema di Schwarz: ho per l'appunto scritto:
"wrugg25":
L'ipotesi più debole, di fatto, rischia di non essere sufficiente: le derivate seconde devono essere continue (come evidente se analizzi la dimostrazione del teorema, che puoi reperire qui).
Un esempio classico del perchè tale condizione sia necessaria è una funzione - citata anche su Wikipedia e dovuta a Peano - per la quale di fatto l'ordine di derivabilità non è invertibile, ma che risulta conforme alle condizioni poste dal teorema di Schwarz "in forma debole":
$ f(x, y) = xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) $ per $ (x, y) != (0, 0) $
$ f(x, y) = 0 $ per $ (x, y) = (0, 0) $
Quindi, non solo ho detto che in generale la "doppia differenziabilità" non basta, ma ho anche portato un esempio che lo dimostra!
Purtroppo, nel post successivo mi sono espresso male, e ho scritto:
"wrugg25":
Una funzione è differenziabile due volte se le sue derivate prime sono tutte differenziabili (ovviamente), e dunque se rispettano il teorema del differenziale totale. Cosa vuol dire questo? Che tutte le derivate seconde della funzione di partenza devono essere continue, affinchè essa sia due volte differenziabile!
Per questo ti ho citato il teorema del differenziale totale: perchè, con uno sviluppo logico elementare, si può comprendere come estendere il concetto di differenziabilità alle funzioni di classi superiori alla prima, e dunque capire perchè il teorema di Schwarz è stato riportato in quella forma.
Quando invece volevo scrivere:
"wrugg25":
Una funzione è differenziabile due volte - per il teorema del differenziale totale - se le sue derivate prime sono tutte differenziabili (ovviamente). Cosa vuol dire questo? Che tutte le derivate seconde della funzione di partenza devono essere continue, affinchè essa sia due volte differenziabile!
Per questo ti ho citato il teorema del differenziale totale: perchè, con uno sviluppo logico elementare, si può comprendere come estendere il concetto di differenziabilità alle funzioni di classi superiori alla prima per le quali vale il teorema del differenziale totale, e dunque capire perchè il teorema di Schwarz è stato riportato in quella forma.
Tant'è che, subito dopo, ho scritto che la tua enunciazione del teorema è, secondo me, corretta.
Da dove è nato l'equivoco? Semplice, quanto volevo mostrarti io (purtroppo, credo di non esserci riuscito) è che l'enunciato del tuo libro si riferisce, probabilmente, alle sole funzioni per le quali vale il teorema del differenziale totale.
Comunque, ritengo che se tu avessi letto i link che ti ho riportato (cosa che dubito tu abbia fatto) probabilmente i miei intenti ti sarebbero stati (fermo restando i miei errori, dovuti al fatto che sto scrivendo dal cellulare usando Teamviewer per connettermi al computer) più chiari.
Detto questo, io tutto quello che dovevo spiegare l'ho scritto, e la chiudo qui.
ohhh ora sono molto contento della limpidezza del tuo discorso, è proprio andata come dici tu ed hai colto anche "l'equivoco", in realtà se tu mi avessi fatto questo discorso prima di fare l'"insultante" avremmo risparmiato tempo perché in realtà l'equivoco non esiste.
Come ti ho già detto prima, il mio testo enuncia il teorema senza considerare funzioni che soddisfano il teorema del differenziale totale, e pensavo tu avessi notato questa "sottigliezza" visto che era proprio la mia sola e unica domanda.
Allora tu dovevi semplicemente rispondermi che non esistono due enunciati diversi del teorema, e che l'enunciato che ho trascritto:
"Siano f: A-->R, con A∈R^n aperto e x∈A. Se f è due volte differenziabile in x, allora le derivate miste sono uguali"
è per l'appunto errato se non si aggiunge che la funzione deve soddisfare il teorema del differenziale totale e quindi essere di classe C^2.
Come ti ho già detto prima, il mio testo enuncia il teorema senza considerare funzioni che soddisfano il teorema del differenziale totale, e pensavo tu avessi notato questa "sottigliezza" visto che era proprio la mia sola e unica domanda.
Allora tu dovevi semplicemente rispondermi che non esistono due enunciati diversi del teorema, e che l'enunciato che ho trascritto:
"Siano f: A-->R, con A∈R^n aperto e x∈A. Se f è due volte differenziabile in x, allora le derivate miste sono uguali"
è per l'appunto errato se non si aggiunge che la funzione deve soddisfare il teorema del differenziale totale e quindi essere di classe C^2.
In ogni caso io ti ringrazio infinitamente del tempo che hai speso a seguire il mio discorso, ma hai fatto l'insultante prima tu, io ho risposto di conseguenza; spero solo che ora tu condivida con me quello che ho detto prima!
sarei felice se mi rispondessi!
Continuo a non apprezzare il tuo tono ("tu dovevi"? Calma!), e ovviamente non condivido quello le tue distribuzioni di responsabilità... comunque, l'importante è che tu abbia avuto la risposta che ti occorreva.
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