Teorema di Rolle (per intervalli sup. illimitati)

[Seneca1]

Esercizio: Sia $f$ continua su $[a , +oo[$ e derivabile su $] a , +oo[$.

Dimostrare che se $f(a) = lim_(x -> +oo) f(x)$ allora esiste $xi > a$ con $f'(xi) = 0$.


Svolgimento:

Considero $x > a$ e applico Lagrange in $[a , x]$:

$EE xi in ] a , x [$ tale che $f'(xi) = (f(x) - f(a))/(x - a)$

Mandando $x -> +oo$ si ha che $EE xi in ] a , +oo [$ tale che $f'(xi) = 0$.

EDIT: Mi sono accorto che ho preso una cantonata.

Non uso precisamente l'ipotesi: $f(a) = lim_(x -> +oo) f(x)$ . $(f(x) - f(a))/(x - a) -> 0$ per $x -> +oo$ anche se fosse $f(x) -> L != f(a)$ (sempre per $x -> +oo$).

Tanto per togliermi la curiosità, che cosa ho dimostrato così?

[gugo82]

Nulla.
Infatti lo [tex]$\xi$[/tex] di Lagrange dipende fortemente da [tex]$x$[/tex] e perciò dovresti scrivere [tex]$\xi_x$[/tex]; mandando [tex]$x\to +\infty$[/tex] non sei nemmeno sicuro che [tex]$\xi_x$[/tex] ti rimanga al finito, quindi con un procedimento di limite simile non arrivi da nessuna parte.

Per l'esercizio, prova a capire cosa succede se consideri la funzione ausiliaria:

[tex]g(x):=f\left( \frac{a^2}{x}\right)$[/tex].

[Seneca1]

Mi è venuta in mente una dimostrazione che questa volta dovrebbe funzionare (anche se è terribilmente arzigogolata).

$f : [ a , +oo [ -> RR$. Se escludiamo la possibilità che $f$ oscilli in un intorno di $+oo$, allora è ragionevole che la $f$ abbia un andamento monotono in $] x_0 , + oo[$.

Supponiamo $f(x_0) > f(a)$. Allora $f$ è monotona decrescente in $] x_0 , + oo[$. Consideriamo un punto $xi in ] x_0 , + oo[$ e prendiamo la funzione seguente:

$g(x) = {(f(x),if a <= x < xi ),(f'(xi)( x - xi ) + f(xi),if x >= xi):}$

Il grafico di $g$ da $xi$ in poi è una retta:

$lim_(x -> +oo) g(x) = lim_(x -> +oo) f'(xi)( x - xi ) + f(xi) = -oo $

per il teorema dei valori intermedi si deduce quindi l'esistenza di un punto $bar x in ] xi , +oo [$ tale che $g( bar x ) = f(a) = g(a)$.

Si può quindi applicare il teorema di Rolle nell'intervallo $[ a , bar x ]$ e poiché $f'(xi) < 0$, il punto in cui $g'$ si annulla dovrà trovarsi nell'intervallo $] a , xi [$, in cui $g = f$, ovvero la tesi.

[gugo82]

Seneca, la funzione:

[tex]$f(x)=2011+\frac{\sin x}{x}$[/tex]

ha [tex]$f(\pi)=2011=\lim_{x\to +\infty} f(x)$[/tex] (chiaramente prendo [tex]$a=\pi$[/tex]), ma non ha un andamento non oscillante intorno a [tex]$+\infty$[/tex].

[Seneca1]

"gugo82":Nulla.
Infatti lo [tex]$\xi$[/tex] di Lagrange dipende fortemente da [tex]$x$[/tex] e perciò dovresti scrivere [tex]$\xi_x$[/tex]; mandando [tex]$x\to +\infty$[/tex] non sei nemmeno sicuro che [tex]$\xi_x$[/tex] ti rimanga al finito, quindi con un procedimento di limite simile non arrivi da nessuna parte.

Per l'esercizio, prova a capire cosa succede se consideri la funzione ausiliaria:

[tex]g(x):=f\left( \frac{a^2}{x}\right)$[/tex].

Grazie del suggerimento e della correzione. Ora ci provo.

[Seneca1]

Mi ero dimenticato di scrivere una cosa.

Volevo spiegare che se la funzione non ha un andamento oscillante in un intorno di $+oo$, allora si può dimostrare con quel procedimento che ho scritto. Se la funzione è oscillante, allora, poiché la funzione è derivabile, viene immediatamente l'esistenza di almeno un punto in cui $f'$ si annulla (credo...)

[gugo82]

Vabbè, forse con questa aggiunta la cosa funziona pure... Ma seguendo il suggerimento che ti ho dato prima la cosa mi pare diventi immediata.

[Seneca1]

Sì, mi interessava qualcosa di immediato. Ma non venendomi in mente altro ho tirato fuori quell'idea strampalata.

$g(x) = f(a^2/x)$

Allora $g(a) = f(a)$,

e $lim_(x -> 0^+) g(x) = f(a)$

Allora potrei prolungare $g$ per continuità in $0$: $g(0) = f(a)$ - e avere un intervallo in cui applicare Rolle:

$EE xi in ]0 , a[$ tale che $g'(xi) = 0$. Quindi $EE xi$ tale che $f'(a^2/xi) = 0$.

E' giusto?

Però non mi è evidente che $xi > a$...

[gugo82]

Ma:

[tex]$g^\prime (x) = - \frac{a^2}{x^2}\ f^\prime \left( \frac{a^2}{x}\right)$[/tex],

quindi se [tex]$g^\prime (\xi)=0$[/tex] quanto vale [tex]$f^\prime (\eta)$[/tex] quando [tex]$\eta =\tfrac{a^2}{\xi}$[/tex]? E tale [tex]$\eta$[/tex] sta a destra o a sinistra di [tex]$a$[/tex]?