Teorema di Rolle
Ciao,
nello svolgimento del teorema di Rolle, sto riscontrando delle difficoltà nella verifica della derivata in un dato intervallo. Il teorema infatti afferma che una funzione f(x) sia continua in [a; b], derivabile in (a; b) e ed esiste un f(c) che appartiene ad (a; b) / f* (c) = 0
Date ad esempio queste due funzioni, come posso sapere che sono derivabili nell'intervallo?
nello svolgimento del teorema di Rolle, sto riscontrando delle difficoltà nella verifica della derivata in un dato intervallo. Il teorema infatti afferma che una funzione f(x) sia continua in [a; b], derivabile in (a; b) e ed esiste un f(c) che appartiene ad (a; b) / f* (c) = 0
Date ad esempio queste due funzioni, come posso sapere che sono derivabili nell'intervallo?
Risposte
Beh, continue sono continue, per cui il limite del rapporto incrementale(*) esiste dovunque [NO !! SBAGLIATO !!!].
La derivata della prima funzione intorno allo zero impazzisce e parte in verticale(**), cioè, diciamolo come si deve....ha $lim_{x \to 0^+} f'(x) = +\infty$, ma esiste sempre, perchè il t. di Rolle non include gli estermi dell'intervallo, cioè il tuo intervallo diventa $(0,3)$.
Cioè rispetto al t. di Weierstrass, che è il papà del t. di Rolle, si perdono gli estermi, per motivi che apprezzo in modo incompleto.
Weierstrass vuole anche gli estermi inclusi altrimenti il gioco si guasta, perchè la funzione potrebbe non ammettere mai massimo e minimo (pensa a un segmento "aperto"). Invece a Rolle non gliene frega una beata m. perchè lavora con le derivate.
(*) Meglio noto come derivata.
(**) anche in 3
Spero che arrivi qualcuno più rigoroso di me.....
La derivata della prima funzione intorno allo zero impazzisce e parte in verticale(**), cioè, diciamolo come si deve....ha $lim_{x \to 0^+} f'(x) = +\infty$, ma esiste sempre, perchè il t. di Rolle non include gli estermi dell'intervallo, cioè il tuo intervallo diventa $(0,3)$.
Cioè rispetto al t. di Weierstrass, che è il papà del t. di Rolle, si perdono gli estermi, per motivi che apprezzo in modo incompleto.
Weierstrass vuole anche gli estermi inclusi altrimenti il gioco si guasta, perchè la funzione potrebbe non ammettere mai massimo e minimo (pensa a un segmento "aperto"). Invece a Rolle non gliene frega una beata m. perchè lavora con le derivate.
(*) Meglio noto come derivata.
(**) anche in 3
Spero che arrivi qualcuno più rigoroso di me.....
"Quinzio":ehm... fa troppo caldo lì dalle tue parti?
Beh, continue sono continue, per cui il limite del rapporto incrementale(*) esiste dovunque.
Non solo è falso, ma esistono addirittura funzioni continue su tutto R che non sono derivabili in nessun punto.
Qui un bell'esempio, dettagliatamente discusso:
http://sole.dimi.uniud.it/~gianluca.gor ... aerden.pdf
Fiuuu, fortuna che c'è qualcuno che ne sa a pacchi e che vigila sulle nostre errate conclusioni.....
Bellissima quella funzione a forma di nuvola.......quella l'ho guardata subito, per il resto penso che ci metterò un pochino.....ehm scherzo, sono le cose pù interessanti queste funzioni strane, tutte ritorte....
Bellissima quella funzione a forma di nuvola.......quella l'ho guardata subito, per il resto penso che ci metterò un pochino.....ehm scherzo, sono le cose pù interessanti queste funzioni strane, tutte ritorte....
Aggiunta postuma: c'era già stata una discussione sul forum riguardo a funzioni come quella dettagliatamente illustrata da Gorni(*):
funzione-continua-t48338.html
(*) [size=90]Era stato mio esercitatore a un corso di analisi 1 per informatici nel 1986/87, a Udine. Si vedeva che ci metteva impegno nella didattica, era stata una fortuna avere la sua collaborazione. Lo saluto, se passasse di qui[/size]
funzione-continua-t48338.html
(*) [size=90]Era stato mio esercitatore a un corso di analisi 1 per informatici nel 1986/87, a Udine. Si vedeva che ci metteva impegno nella didattica, era stata una fortuna avere la sua collaborazione. Lo saluto, se passasse di qui[/size]
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