Teorema di rolle
salve a tutti.. ho un problema.. se le ipotesi del reorema di rolle sono veiricate , è sicuro che la tesi sia verificata??? il problema mi riporta questa funzione x*e^x - x^2*e^x... essa è continua e derivabile in tutto R quindi soddisfa le prime 2 ipotesi..siccome f(a)=f(b) visto che l'intervallo considerato è [0;1] ovviamente tutte le 3 ipotesi sono verificate... facendo la tesi cioè f'(c)=0 mi risultano come valori c=0 c=-1... la risposta alla domanda iniziale qual'é?? essendo che l'intervallo è chiuso vuol dire che a e b appartengono all'intervallo quindi anche il valore c=0 no??? il dubbio che mi sorge è che nel mio libro i valori che corriscpondono agli estremi dell intervallo anche se appartengono a questo non vengono presi come valori che soddisfano il teorema di rolle...
Risposte
Naturale. Perché questa domanda?
Certo. E' importante essere certi che le ipotesi siano verificate
Qualche giorno fa un utente ha fatto una domanda molto simile, sempre sul teorema di Rolle.
Era convinto che non valesse la tesi. Invece non erano rispettate le ipotesi.
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... 75251.html
Qualche giorno fa un utente ha fatto una domanda molto simile, sempre sul teorema di Rolle.
Era convinto che non valesse la tesi. Invece non erano rispettate le ipotesi.
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... 75251.html
"marc91":
salve a tutti.. ho un problema.. se le ipotesi del reorema di rolle sono veiricate , è sicuro che la tesi sia verificata??? il problema mi riporta questa funzione x*e^x - x^2*e^x... essa è continua e derivabile in tutto R quindi soddisfa le prime 2 ipotesi..siccome f(a)=f(b) visto che l'intervallo considerato è [0;1] ovviamente tutte le 3 ipotesi sono verificate... facendo la tesi cioè f'(c)=0 mi risultano come valori c=0 c=-1... la risposta alla domanda iniziale qual'é?? essendo che l'intervallo è chiuso vuol dire che a e b appartengono all'intervallo quindi anche il valore c=0 no??? il dubbio che mi sorge è che nel mio libro i valori che corriscpondono agli estremi dell intervallo anche se appartengono a questo non vengono presi come valori che soddisfano il teorema di rolle...
Controlla i calcoli. A me non risulta affatto che la derivata si annulli per $c = 0 , c = -1$.
Si annulla sicuramente in un punto interno all'intervallo $[0,1]$.
Dovrebbe essere $c=(-1+sqrt5)/2$
mi scusi ma se la funzione è polinomiale non è derivabile sempre??? ho fatto la derivata della funzione è viene e^x+x*e^x-2x*e^x-x^2*e^x.... essendo polinomiale non dovrebbe essere derivabile in tutto R?? facendo la f(c)=0 i fattori e^x si eliminano tutti e rimane -c^2 -c=0.. quindi le soluzioni sono c=0 e c=-1.... cosa c'è di sbagliato in tutto questo??
"Gi8":scusi ma come ha fatto ha trovare questi valori??
Dovrebbe essere $c=(-1+sqrt5)/2$
Allora, come al solito è bene fare un po' d'ordine.
$f:[0,1]->RR$, $f(x)=x*e^x-x^2*e^x$.
Le tre ipotesi del teorema di Rolle sono rispettate:
1) La funzione è continua in $[0,1]$ (in realtà è continua su tutto $RR$, ma a noi interessa solo il dominio dell'esercizio)
2) La funzione è derivabile in $(0,1)$ (idem come sopra: in realtà è derivabile su tutto $RR$, ma ci interessa solo $(0,1)$)
3) $f(0)=f(1)$
Il teorema di Rolle asserisce che $EE c in (0,1)$ tale che $f'(c)=0$
Quindi abbiamo la garanzia che c'è almeno un punto in $(0,1)$ in cui la derivata di $f$ si annulla.
Siamo anche in grado di trovare qual è questo punto:
La derivata è $f'(x)=e^x*(1-x-x^2)$
Quando si annulla? Quando $1-x-x^2=0$ ($e^x$ non si può mai annullare).
Ps: dammi pure del tu.
$f:[0,1]->RR$, $f(x)=x*e^x-x^2*e^x$.
Le tre ipotesi del teorema di Rolle sono rispettate:
1) La funzione è continua in $[0,1]$ (in realtà è continua su tutto $RR$, ma a noi interessa solo il dominio dell'esercizio)
2) La funzione è derivabile in $(0,1)$ (idem come sopra: in realtà è derivabile su tutto $RR$, ma ci interessa solo $(0,1)$)
3) $f(0)=f(1)$
Il teorema di Rolle asserisce che $EE c in (0,1)$ tale che $f'(c)=0$
Quindi abbiamo la garanzia che c'è almeno un punto in $(0,1)$ in cui la derivata di $f$ si annulla.
Siamo anche in grado di trovare qual è questo punto:
La derivata è $f'(x)=e^x*(1-x-x^2)$
Quando si annulla? Quando $1-x-x^2=0$ ($e^x$ non si può mai annullare).
Ps: dammi pure del tu.
"marc91":scusi ma come ha fatto ha trovare questi valori??[/quote] ho trovato l'errore .. la derivata=0 risulta c^2 + c - 1... il che risulta tutto giusto.... grazie mille
[quote="Gi8"]Dovrebbe essere $c=(-1+sqrt5)/2$
Prego, figurati.
In futuro, se avrai altri dubbi e vorrai avere chiarimenti qui sul forum,
ti consiglio di scrivere le formule tra due simboli di dollaro \$
Così saranno più leggibili per gli utenti. Ciao
In futuro, se avrai altri dubbi e vorrai avere chiarimenti qui sul forum,
ti consiglio di scrivere le formule tra due simboli di dollaro \$
Così saranno più leggibili per gli utenti. Ciao
grazie mille... adesso ho capito anche il dubbio che avevo prima.. io avevo scritto che la f(x) è derivabile nello stesso intervallo quindi consideravo l'intervallo chiuso ,invece bisogna considerare l'intervallo aperto quindi se i valori di c risultano quali agli estremi dell intervallo nn bisogna prenderli perchè i valori a e b non vi appartengono perchè l'intervallo è aperto ... grazie ancora per il chiarimento ad entrambi buona giornata
... grazie ancora per il chiarimento ad entrambi buona giornata
"Gi8":ok scusami ma nn capivo a cosa servisse questo simbolo.. la prossima volta lo metterò
Prego, figurati.
In futuro, se avrai altri dubbi e vorrai avere chiarimenti qui sul forum,
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Così saranno più leggibili per gli utenti. Ciao
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