Teorema di Riesz-Schauder per operatori compatti
Salve a tutti!
Ho un piccolo problema da sottoporvi. Devo dimostrare il Teorema di Riesz-Schauder che caratterizza lo spettro di un operatore compatto!
Premesse:
Con $B(\mathbb{H})$ indico l'Algebra degli operatori limitati nello spazio di Hilbert $\mathbb{H}$.
Il risolvente di un operatore $A$ è il sottoinsieme dei numeri complessi $\rho(A)={\lambda \in \mathbb{C}: (A-\lambda I)^-1 \inB(\mathbb{H})}$.
Lo spettro di un operatore $A$ è il sottoinsieme dei numeri complessi $\sigma(A)=\mathbb{C}\setminus \rho(A)={\lambda \in \mathbb{C}: (A-\lambda I)^-1 \notinB(\mathbb{H})}$.
Lo spettro puntuale di un operatore $A$ è il sottoinsieme dei numeri complessi $\sigma_p (A)$={$\lambda \in \mathbb{C}: Ay=\lambda y$ ha soluzioni non nulle}, ovvero l'insieme degli autovalori di $A$ e vale che $\sigma_p (A) \subseteq \sigma(A)$.
Per la dimostrazione del Teorema di Riesz-Schauder utilizzo il seguente risultato:
Analytic Fredholm Theorem. Sia $D$ un sottoinsieme aperto e connesso di $\mathbb{C}$. Sia $f: D$ $\rightarrow$ $B(\mathbb{H})$ una funzione analitica a valori operatori tale che $f(z)$ è un operatore compatto per ogni $z \in D$.
Allora si verifica una ed una sola delle seguenti:
(a) $(I-f(z))^(-1)$ non esiste per alcun $z \in D$
(b) $(I-f(z))^(-1)$ esiste per ogni $z \in D\setminus S$, ove $S$ è un sottoinsieme di $D$ costituito da punti isolati e privo di punti di accumulazione.
Si noti che $I$ indica l'operatore identico di $B(\mathbb{H})$.
Ecco finalmente il Teorema in oggetto
Riesz-Schauder Theorem. Lo spettro $\sigma(A)$ di un operatore compatto $A$ consiste univocamente di 0 e degli autovalori di $A$. Lo spettro è finito o numerabile e, in questo caso, ha al più 0 come punto di accumulazione. Ogni elemento non nullo dello spettro è un autovalore di molteplicità finita.
Per la dimostrazione si procede (come suggerito in molti libri), in questo modo.
Si consideri $f: \mathbb{C}$ $\rightarrow$ $B(\mathbb{H})$ tale che $f(\lambda)=\lambda A$, dove $A$ è un operatore compatto fissato.
Si verifica facilmente che $f$ è analitica su tutto il piano complesso, inoltre poiché $K(\mathbb{H})$={A $\in B(\mathbb{H})$: $A$ è compatto} è un $\mathbb{C}$-sottospazio di $B(\mathbb{H})$ allora $f(\lambda)$ è compatto per ogni $\lambda \in \mathbb{C}$. Quindi si può applicare l'Analitic Fredholm Theorem.
Allora o
(a) $(I-f(\lambda))^(-1)$ non esiste per alcun $z \in \mathbb{C}$
oppure
(b) $(I-f(\lambda))^(-1)$ esiste per ogni $z \in \mathbb{C}\setminus S$, ove $S$ è un sottoinsieme di $\mathbb{C}$ costituito da punti isolati e privo di punti di accumulazione.
Poiché certamente , per $\lambda=0$, $(I-f(\lambda))^-1=(I-0A)^-1=I$ esiste, allora non può verificarsi l'opzione (b).
Inoltre, dall'Analytic Fredholm Theorem si ha che $S=${$\lambda \in \mathbb{C}$: $\lambda A y=y$ ha soluzioni non nulle}, e, ovviamente $0 \notin S$.
Si osserva che se $1/\lambda \notin S$, allora
$$(A-\lambda I)^{-1}=-1/\lambda (I-1/\lambda A)^{-1}$$
e quindi $\lambda \in \rho(A)$.
Naturalmente vale anche il viceversa e, quindi, $1/\lambda \notin S \Leftrightarrow \lambda \in \rho(A)$.
Dunque si ha $1/\lambda \in S \Leftrightarrow \lambda \notin \rho(A)$, cioè
$$1/\lambda \in S \Leftrightarrow \lambda \in \sigma(A)$$
Qui arrivano i miei dubbi. Come faccio a dimostrare che $\sigma(A)$={0}$\cup \sigma_p (A)$?
Dovrei poter concludere che $\sigma(A)=S\cup \{0\}$? Se così fosse, l'asserto riguardante lo zero come punto di accumulazione sarebbe evidente.
Invece io procedo nel seguente modo:
Se $\lambda \in \sigma(A)$ e $\lambda \ne 0$ allora $1/\lambda \in S$. Quindi $1/\lambda A y =y$ ha soluzioni non nulle, cioè $\lambda \in \sigma_p (A)$. Quindi, poiché per gli operatori compatti vale che $0 \in \sigma(A)$, posso concludere che
$$\sigma(A)=\sigma_p (A) \cup \{0\}.$$
Ma in questo modo ho problemi a dimostrare che 0 è l'unico punto di accumulazione.
Infatti sicuramente posso affermare che o $\sigma_p (A)$ è finito, oppure, se non lo è, poiché $\sigma_p (A) \subseteq \sigma(A)$ e $\sigma(A)$ è limitato, allora per il teorema di Bolzano - Weirstrass ammette punto di accumulazione. Del resto $\sigma(A)$ è chiuso in norma, quindi certamente se $\mu$ è punto di accumulazione per $\sigma_p (A)$ allora $\mu \in \sigma(A)$. Ma chi mi garantisce che sia proprio $\mu = 0$??
Grazie anticipatamente per il Vostro tempo!
Ho un piccolo problema da sottoporvi. Devo dimostrare il Teorema di Riesz-Schauder che caratterizza lo spettro di un operatore compatto!
Premesse:
Con $B(\mathbb{H})$ indico l'Algebra degli operatori limitati nello spazio di Hilbert $\mathbb{H}$.
Il risolvente di un operatore $A$ è il sottoinsieme dei numeri complessi $\rho(A)={\lambda \in \mathbb{C}: (A-\lambda I)^-1 \inB(\mathbb{H})}$.
Lo spettro di un operatore $A$ è il sottoinsieme dei numeri complessi $\sigma(A)=\mathbb{C}\setminus \rho(A)={\lambda \in \mathbb{C}: (A-\lambda I)^-1 \notinB(\mathbb{H})}$.
Lo spettro puntuale di un operatore $A$ è il sottoinsieme dei numeri complessi $\sigma_p (A)$={$\lambda \in \mathbb{C}: Ay=\lambda y$ ha soluzioni non nulle}, ovvero l'insieme degli autovalori di $A$ e vale che $\sigma_p (A) \subseteq \sigma(A)$.
Per la dimostrazione del Teorema di Riesz-Schauder utilizzo il seguente risultato:
Analytic Fredholm Theorem. Sia $D$ un sottoinsieme aperto e connesso di $\mathbb{C}$. Sia $f: D$ $\rightarrow$ $B(\mathbb{H})$ una funzione analitica a valori operatori tale che $f(z)$ è un operatore compatto per ogni $z \in D$.
Allora si verifica una ed una sola delle seguenti:
(a) $(I-f(z))^(-1)$ non esiste per alcun $z \in D$
(b) $(I-f(z))^(-1)$ esiste per ogni $z \in D\setminus S$, ove $S$ è un sottoinsieme di $D$ costituito da punti isolati e privo di punti di accumulazione.
Si noti che $I$ indica l'operatore identico di $B(\mathbb{H})$.
Ecco finalmente il Teorema in oggetto
Riesz-Schauder Theorem. Lo spettro $\sigma(A)$ di un operatore compatto $A$ consiste univocamente di 0 e degli autovalori di $A$. Lo spettro è finito o numerabile e, in questo caso, ha al più 0 come punto di accumulazione. Ogni elemento non nullo dello spettro è un autovalore di molteplicità finita.
Per la dimostrazione si procede (come suggerito in molti libri), in questo modo.
Si consideri $f: \mathbb{C}$ $\rightarrow$ $B(\mathbb{H})$ tale che $f(\lambda)=\lambda A$, dove $A$ è un operatore compatto fissato.
Si verifica facilmente che $f$ è analitica su tutto il piano complesso, inoltre poiché $K(\mathbb{H})$={A $\in B(\mathbb{H})$: $A$ è compatto} è un $\mathbb{C}$-sottospazio di $B(\mathbb{H})$ allora $f(\lambda)$ è compatto per ogni $\lambda \in \mathbb{C}$. Quindi si può applicare l'Analitic Fredholm Theorem.
Allora o
(a) $(I-f(\lambda))^(-1)$ non esiste per alcun $z \in \mathbb{C}$
oppure
(b) $(I-f(\lambda))^(-1)$ esiste per ogni $z \in \mathbb{C}\setminus S$, ove $S$ è un sottoinsieme di $\mathbb{C}$ costituito da punti isolati e privo di punti di accumulazione.
Poiché certamente , per $\lambda=0$, $(I-f(\lambda))^-1=(I-0A)^-1=I$ esiste, allora non può verificarsi l'opzione (b).
Inoltre, dall'Analytic Fredholm Theorem si ha che $S=${$\lambda \in \mathbb{C}$: $\lambda A y=y$ ha soluzioni non nulle}, e, ovviamente $0 \notin S$.
Si osserva che se $1/\lambda \notin S$, allora
$$(A-\lambda I)^{-1}=-1/\lambda (I-1/\lambda A)^{-1}$$
e quindi $\lambda \in \rho(A)$.
Naturalmente vale anche il viceversa e, quindi, $1/\lambda \notin S \Leftrightarrow \lambda \in \rho(A)$.
Dunque si ha $1/\lambda \in S \Leftrightarrow \lambda \notin \rho(A)$, cioè
$$1/\lambda \in S \Leftrightarrow \lambda \in \sigma(A)$$
Qui arrivano i miei dubbi. Come faccio a dimostrare che $\sigma(A)$={0}$\cup \sigma_p (A)$?
Dovrei poter concludere che $\sigma(A)=S\cup \{0\}$? Se così fosse, l'asserto riguardante lo zero come punto di accumulazione sarebbe evidente.
Invece io procedo nel seguente modo:
Se $\lambda \in \sigma(A)$ e $\lambda \ne 0$ allora $1/\lambda \in S$. Quindi $1/\lambda A y =y$ ha soluzioni non nulle, cioè $\lambda \in \sigma_p (A)$. Quindi, poiché per gli operatori compatti vale che $0 \in \sigma(A)$, posso concludere che
$$\sigma(A)=\sigma_p (A) \cup \{0\}.$$
Ma in questo modo ho problemi a dimostrare che 0 è l'unico punto di accumulazione.
Infatti sicuramente posso affermare che o $\sigma_p (A)$ è finito, oppure, se non lo è, poiché $\sigma_p (A) \subseteq \sigma(A)$ e $\sigma(A)$ è limitato, allora per il teorema di Bolzano - Weirstrass ammette punto di accumulazione. Del resto $\sigma(A)$ è chiuso in norma, quindi certamente se $\mu$ è punto di accumulazione per $\sigma_p (A)$ allora $\mu \in \sigma(A)$. Ma chi mi garantisce che sia proprio $\mu = 0$??
Grazie anticipatamente per il Vostro tempo!
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