Teorema di regolarità delle successioni monotone

[Mr.Mazzarr]

Ragazzi sto ristudiando gli appunti della mia prof ma ho un problema con la comprensione dell'ultima parte della dimostrazione del Teorema di regolarità delle successioni monotone. Allora:

Ipotesi
$(a_{n})_{n} in N$ è una successione monotona crescente e limitata superiormente
$e'' = sup a_{n}$

Tesi
$lim_(n->+oo) a_{n} = e''$

Procedimento
$lim_(n->+oo) a_{n} = e'' ->$ $AA epsilon > 0, EE vartheta in N : AAn >= vartheta , e'' - epsilon < a_{n} < e'' + epsilon$

$e'' = sup a_{n}$

$a_{n} <= e'' , n in N$
$AA epsilon > 0, EE vartheta in N : a_{vartheta} > e'' - epsilon$


Fino a qui è tutto chiaro, ma non ho capito che procedimento logico richiede quest'ultimo pezzo:
$epsilon > 0$
$AA n in N, vartheta <= n -> a_{vartheta} <= a_{n}$ $-> | e'' - epsilon | < a_{vartheta} <= a_{n} <= e'' < e'' + epsilon$

[Mr.Mazzarr]

P.s. e'' è l'estremo superiore, solo che esce quel simbolo che sinceramente non so cosa significhi.

[gugo82]

Il teorema dice quanto segue.

Sia \((a_n)\) una successione di reali.
Se \((a_n)\) è monotona, allora essa è dotata di limite (cioè, è regolare).
In particolare, se \((a_n)\) è crescente si ha:
\[
\tag{C}
\lim_n a_n = \sup_{n\in \mathbb{N}} a_n\; ,
\]
mentre se \((a_n)\) è decrescente risulta:
\[
\tag{D}
\lim_n a_n = \inf_{n\in \mathbb{N}} a_n\; .
\]

Ovviamente, per dimostrare il teorema basta provare che valgono, in ogni caso, le uguaglianze (C) e (D).

Dim.:

Dividiamo la dimostrazione in due parti.

1. Cominciamo col provare la regolarità delle successioni crescenti: per fare ciò occorre e basta provare che per una generica successione crescente \((a_n)\) vale la (C).
Conviene distinguere due casi, cioè \(\sup_{n\in \mathbb{N}} a_n =e^{\prime \prime} <+\infty\) e \(\sup_{n\in \mathbb{N}} a_n =+\infty\).

Caso \(\sup_{n\in \mathbb{N}} a_n =e^{\prime \prime} <+\infty\).
Dobbiamo far vedere che \(e^{\prime \prime}\) gode della proprietà di limite per \((a_n)\), cioè che:
\[
\tag{L}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu\in \mathbb{N}:\quad \forall n> \nu,\ e^{\prime \prime} -\varepsilon < a_n \]
Per farlo dobbiamo usare le uniche due cose che conosciamo, cioè la crescenza di \((a_n)\) ed il fatto che \(e^{\prime \prime}\) è l'estremo superiore di \((a_n)\).
Dato che \(e^{\prime \prime}\) è l'estremo superiore della successione, esso gode delle due proprietà caratteristiche dell'estremo superiore, cioè:
\[
\begin{cases}
\forall n\in \mathbb{N},\ a_n\leq e^{\prime \prime} &\text{(cioè } e^{\prime \prime} \text{ è un maggiorante)}\\
\forall \varepsilon >0,\ \exists \mu \in \mathbb{N}:\ e^{\prime \prime} -\varepsilon < a_\mu &\text{(cioè } e^{\prime \prime} \text{ è il più piccolo maggiorante).}
\end{cases}
\]
Fissato \(\varepsilon >0\) ad arbitrio, per la seconda proprietà caratteristica esiste un indice \(\mu\) tale che:
\[
e^{\prime \prime}-\varepsilon \]
d'altra parte, dato che \((a_n)\) cresce, comunque fissiamo \(n>\mu\) si ha \(a_\mu \leq a_n\), dunque dalla precedente segue:
\[
\forall n>\mu,\ e^{\prime \prime}-\varepsilon \]
dalla prima proprietà caratteristica, però, segue che \(a_n\leq e^{\prime \prime}\) dunque:
\[
\forall n>\mu,\ e^{\prime \prime}-\varepsilon \]
infine, dato che \(\varepsilon >0\), si ha \(e^{\prime \prime} \[
\forall n>\mu,\ e^{\prime \prime}-\varepsilon \]
Abbiamo così provato che incorrispondenza di un arbitrario numero positivo \(\varepsilon\) è possibile determinare un indice \(\mu\) in modo che:
\[
\forall n>\mu,\ e^{\prime \prime}-\varepsilon \]
ciò significa che \(e^{\prime \prime}\) soddisfa la prorpietà di limite (L) con \(\nu =\mu\).
Dunque \(e^{\prime \prime} = \lim_n a_n\), come volevamo.

Caso \(\sup_{n\in \mathbb{N}} a_n = +\infty\).
In tal caso vogliamo mostrare che \(\lim_n a_n =+\infty\), cioè che vale la:
\[
\tag{M}
\forall M > 0,\ \exists \nu \in \mathbb{N} :\quad \forall n>\nu ,\ a_n > M \; .
\]
Dato che \(\sup_{n\in\ \mathbb{N}} a_n =+\infty\) equivale a dire che la successione \((a_n)\) non è limitata superiormente, comunque fissiamo un \(M>0\) tale numero non è un maggiorante della successione; pertanto in corrispondenza di tale \(M\) esiste almeno un indice \(\mu\) tale che:
\[
a_\mu > M\; ;
\]
d'altra parte, la successione \((a_n)\) è crescente, perciò per ogni \(n>\mu\) si ha \(a_mu \leq a_n\) e ciò importa che:
\[
\forall n>\mu,\ a_n>M\; .
\]
Abbiamo così provato che in corrispondenza di un arbitrario numero positivo \(M\) possiamo sempre determinare un indice \(\mu\) tale che:
\[
\forall n>\mu,\ a_n>M\; ,
\]
e ciò equivale a dire che vale la (M) con \(\nu =\mu\); pertanto \(\lim_n a_n=+\infty\).

Rimane così provato che le successioni crescenti sono in ogni caso regolari e che vale la (C)

2. Per terminare, proviamo che anche le successioni decrescenti sono regolari e che vale la (D). Per fare ciò basta ricondurci al caso precedente e sfruttare le proprietà algebriche dell'estremo inferiore e superiore.
Sia \((a_n)\) una successione decrescente. La successione \((-a_n)\) cresce e, per la parte 1, si ha:
\[
\lim_n -a_n = \sup_{n\in \mathbb{N}} -a_n\; ;
\]
d'altra parte, però, è ben noto che:
\[
\sup_{n\in \mathbb{N}} -a_n = -\inf_{n\in \mathbb{N}} a_n\; ,
\]
quindi dalle uguaglianze precedenti segue immediatamente:
\[
\lim_n a_n = \inf_{n\in \mathbb{N}} a_n
\]
che è la (D).