Teorema di Plancherel
Salve a tutti, vorrei chiedere se qualcuno sa fornirmi una dimostrazione chiara dell'uguaglianza di Plancherel. A lezione ho visto questo teorema nella seguente forma.
Sia $u \in S'(\mathbb{R}^n)$. Allora $u \in L^2(\mathbb{R}^n)$ se e solo se $\hat u \in L^2(\mathbb{R}^n)$ e vale $||\hat u||_{L^2(\mathbb{R}^n)} = (2\pi)^n || u||_{L^2(\mathbb{R}^n)}$.
Ringrazio in anticipo.
Sia $u \in S'(\mathbb{R}^n)$. Allora $u \in L^2(\mathbb{R}^n)$ se e solo se $\hat u \in L^2(\mathbb{R}^n)$ e vale $||\hat u||_{L^2(\mathbb{R}^n)} = (2\pi)^n || u||_{L^2(\mathbb{R}^n)}$.
Ringrazio in anticipo.
Risposte
benvenuto/a nel forum.
non ti posso aiutare direttamente, ma, cercando con google, ho visto che se ne è parlato in precedenza.
forse non trovi proprio quello che cerchi, ma ti lascio comunque i link, sperando che ti possano essere utili:
https://www.matematicamente.it/forum/pla ... 14133.html
https://www.matematicamente.it/forum/fou ... 20860.html
ciao.
non ti posso aiutare direttamente, ma, cercando con google, ho visto che se ne è parlato in precedenza.
forse non trovi proprio quello che cerchi, ma ti lascio comunque i link, sperando che ti possano essere utili:
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https://www.matematicamente.it/forum/fou ... 20860.html
ciao.
Trovata la risposta, riporto la dimostrazione brevemente.
Si consideri il caso particolare per $u \in S \subset L^2$, sappiamo che $\hat u \in S\subset L^2$, quindi la prima parte è verificata, inoltre si dimostra facilmente che la relazione sulle norme è valida, poichè sono verificate le condizioni per il teorema di inversione. Anche il viceversa è verificato.
Consideriamo ora $u \in L^2$ e dimostriamo che $\hat u \in L^2$, per farlo, scegliamo una successione $\{u_k\} \subset S: u_k \rightarrow u$ in $L^2$.
È verificata la relazione $|| \hat u_j - \hat u_k ||_{L^2} = (2\pi)^{n/2} || u_j - u_k ||_{L^2}\quad\forall j,k$.
La successione è di Cauchy in $L^2$, gode delle stesse proprietà la successione delle trasformate, ma $L^2$ essendo uno spazio di Hilbert è completo, quindi la successione delle trasformate ha limite a una funzione $w \in L^2$.
Questa $w = \hat u$, infatti la convergenza in $L^2$ implica la convergenza in $S'$ allo stesso limite, ma in $S'$ $\hat u_k \rightarrow \hat u$, quindi $\hat u = w$.
Si dimostra l'implicazione contraria in modo analogo data l'analogia tra gli operatori $F$ e $F^{-1}$.
Per quanto riguarda l'uguaglianza tra le norme, segue direttamente dalle convergenze in $L^2$ della funzione e della trasformata, infatti, la convergenza di una successione di funzioni in uno spazio normato, implica la convergenza delle norme, da cui si verifica la relazione tra le norme.
Si consideri il caso particolare per $u \in S \subset L^2$, sappiamo che $\hat u \in S\subset L^2$, quindi la prima parte è verificata, inoltre si dimostra facilmente che la relazione sulle norme è valida, poichè sono verificate le condizioni per il teorema di inversione. Anche il viceversa è verificato.
Consideriamo ora $u \in L^2$ e dimostriamo che $\hat u \in L^2$, per farlo, scegliamo una successione $\{u_k\} \subset S: u_k \rightarrow u$ in $L^2$.
È verificata la relazione $|| \hat u_j - \hat u_k ||_{L^2} = (2\pi)^{n/2} || u_j - u_k ||_{L^2}\quad\forall j,k$.
La successione è di Cauchy in $L^2$, gode delle stesse proprietà la successione delle trasformate, ma $L^2$ essendo uno spazio di Hilbert è completo, quindi la successione delle trasformate ha limite a una funzione $w \in L^2$.
Questa $w = \hat u$, infatti la convergenza in $L^2$ implica la convergenza in $S'$ allo stesso limite, ma in $S'$ $\hat u_k \rightarrow \hat u$, quindi $\hat u = w$.
Si dimostra l'implicazione contraria in modo analogo data l'analogia tra gli operatori $F$ e $F^{-1}$.
Per quanto riguarda l'uguaglianza tra le norme, segue direttamente dalle convergenze in $L^2$ della funzione e della trasformata, infatti, la convergenza di una successione di funzioni in uno spazio normato, implica la convergenza delle norme, da cui si verifica la relazione tra le norme.
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