Teorema di Peano

[Mrs92]

Mi serviberre una spiegazione il più chiara possibile del teorema di Peano (che ho incontrato subito dopo il polinomio di taylor). Mi servirebbero soprattutto una chiarificazione concreta, un esempio di applicazione e poi la sua formalizzazione in termini di formule (quest'ultima potete copia-incollarla basta che secondo voi sia corretta).


G R A Z I E !

[Luca.Lussardi]

Immagino tu intenda la formula di Taylor col resto di Peano: se $f$ è una funzione regolare e $x_0 \in (a,b)$ allora posto $R_k(x):=T_kf_{x_0}(x)-f(x)$, cioè l'errore che commetti approssimando $f$ con il polinomio di Taylor $T_kf_{x_0}$ di grado $k$ centrato in $x_0$, si ha che $R_k$ è un infinitesimo per $x\to x_0$ di ordine superiore a $(x-x_0)^k$. Questo in formula si scrive anche come $f(x)=T_kf_{x_0}(x)+o((x-x_0)^k).$

[Mrs92]

sì, è quello. a cosa mi serve?

[Luca.Lussardi]

Vedrai tanti usi della formula di Taylor ma lo spirito della formula è un risultato di approssimazione: attorno a $x_0$ puoi far finta che $f$ sia un polinomio, che può agevolare i conti in tanti contesti.

[Mrs92]

sisi per quanto riguarda taylor ho capito quello che mi serve, la mia domanda riguardava esclusivamente peano.

grazie per l'aiuto.

[Luca.Lussardi]

No, invece non avevi capito se affermi questo: è proprio il comportamento del resto che ti permette di dire che il polinomio di Taylor è un'approssimazione della funzione di partenza. Il polinomio di Taylor è infatti definito semplicemente come polinomio che ha le stesse derivate della funzione data nel centro fissato.