Teorema di Peano.....
Carissimi ragazzi, c'è un dubbio a riguardo del Teorema di Peano, di esistenza locale della soluzione di un problema di Cauchy, che vorrei condividere con voi. Sotto le ipotesi dettate dal teorema è garantita l'esistenza di una funzione che risolva l'equazione differenziale in questione e la condizione iniziale posta. Tale soluzione a priori non è unica, pertanto mi chiedo se possono esservene infinite oppure non è contemplato tale caso. Personalmente credo che ci si possa imbattere in casi in cui ve ne siano infinite, ma attendo vostre conferme a riguardo. Ringrazio della cortese collaborazione 
Risposte
Di solito o la soluzione è unica oppure ce ne sono infinite.
Certo che possono essercene infinite... Anzi questo è proprio quello cha accade più frequentemente in questi casi e, anche per questo motivo, a ciò è stato affibiato il nome di fenomeno di Peano.
Ad esempio il problema:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x)=\sqrt[3]{y(x)}\\
y(0)=0
\end{cases}
\]
non ha soluzione unica. Difatti esso ammette sì la soluzione nulla \(\bar{y}(x)=0\), però ha anche infinite altre soluzioni nella forma:
\[
y(x;x_0):= \begin{cases}
(x-x_0)^{3/2} &\text{, per } x\geq x_0\\
0 &\text{, per } x\leq x_0
\end{cases}
\]
(nota che esse costituiscono addirittura un continuo, poiché dipendendono dal parametro \(x_0\in ]0,\infty[\) che varia in un insieme più che numerabile).
Inoltre, nota che \(f(x,y)=\sqrt[3]{y}\) non è lipschitziana in \(y_0=0\).
Ad esempio il problema:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x)=\sqrt[3]{y(x)}\\
y(0)=0
\end{cases}
\]
non ha soluzione unica. Difatti esso ammette sì la soluzione nulla \(\bar{y}(x)=0\), però ha anche infinite altre soluzioni nella forma:
\[
y(x;x_0):= \begin{cases}
(x-x_0)^{3/2} &\text{, per } x\geq x_0\\
0 &\text{, per } x\leq x_0
\end{cases}
\]
(nota che esse costituiscono addirittura un continuo, poiché dipendendono dal parametro \(x_0\in ]0,\infty[\) che varia in un insieme più che numerabile).
Inoltre, nota che \(f(x,y)=\sqrt[3]{y}\) non è lipschitziana in \(y_0=0\).
Dunque la mia supposizione era fondata. Vi sono casi in cui ve ne sono in numero finito (>1)?
No.
Per il problema di Cauchy con dato \(y(x_0) = y_0\) hai una soluzione minimale \(y_m(x)\) ed una soluzione massimale \(y_M(x)\), tali per cui ogni altra soluzione \(y(x)\) soddisfa \( y_m(x) \leq y(x)\leq y_M(x)\).
Inoltre, se \(y_m\) ed \(y_M\) sono entrambe definite in \([x_0, x_0+\delta]\), per ogni punto della regione \(R := \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x_0\leq x\leq x_0+\delta, y_m(x) \leq y \leq y_M(x)\}\) passa una soluzione del problema di Cauchy di partenza.
Per il problema di Cauchy con dato \(y(x_0) = y_0\) hai una soluzione minimale \(y_m(x)\) ed una soluzione massimale \(y_M(x)\), tali per cui ogni altra soluzione \(y(x)\) soddisfa \( y_m(x) \leq y(x)\leq y_M(x)\).
Inoltre, se \(y_m\) ed \(y_M\) sono entrambe definite in \([x_0, x_0+\delta]\), per ogni punto della regione \(R := \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x_0\leq x\leq x_0+\delta, y_m(x) \leq y \leq y_M(x)\}\) passa una soluzione del problema di Cauchy di partenza.
@Rigel- Il tuo "no" è legato alle ipotesi del teorema di Peano?
Sì, cioè nell'ipotesi che il secondo membro \(f(x,y)\) sia una funzione continua.
"Rigel":
Sì, cioè nell'ipotesi che il secondo membro f(x,y) sia una funzione continua.
Perdonami, ma sto entrando in confusione. Secondo te, stando al teorema di peano, la soluzione del problema in questione è unica?
No.
Nelle ipotesi del teorema di Peano (\(f\) continua), un problema di Cauchy ammette o una sola soluzione, oppure un continuo di soluzioni (il cosiddetto pennello di Peano); non può ammettere dunque un numero finito (\(>1\)) di soluzioni (e nemmeno un'infinità numerabile).
Nelle ipotesi del teorema di Peano (\(f\) continua), un problema di Cauchy ammette o una sola soluzione, oppure un continuo di soluzioni (il cosiddetto pennello di Peano); non può ammettere dunque un numero finito (\(>1\)) di soluzioni (e nemmeno un'infinità numerabile).
@Rigel-Ecco, ora convengo con le tue argomentazioni. Chiedo venia, ma nel dubbio preferisco chiedere, nulla di personale
Stamane ne ho parlato direttamente con il mio docente di "analisi" due e mi ha confermato che quando di soluzioni ve ne sono più di una allora son infinite. 
Metti in dubbio le risposte dei pilastri del forum?! xD (si fa per ridere eh...)
"menale":
Stamane ne ho parlato direttamente con il mio docente di "analisi" due e mi ha confermato che quando di soluzioni ve ne sono più di una allora son infinite.
Sono contento che il tuo docente abbia confermato.
(Se è lecito sapere, di chi si tratta?)
Dovrebbe essere il Dott. Giovanni Pisante. Almeno quando ho dato analisi due era lui ^_^
(Io e menale frequentiamo lo stesso corso di laurea...anni differenti però)
(Io e menale frequentiamo lo stesso corso di laurea...anni differenti però)
"Lorin":
Metti in dubbio le risposte dei pilastri del forum?! xD (si fa per ridere eh...)
Giammai, oserei!
"Lorin":
Dovrebbe essere il Dott. Giovanni Pisante. Almeno quando ho dato analisi due era lui ^_^
(Io e menale frequentiamo lo stesso corso di laurea...anni differenti però)
Eh sì, è proprio Lui!!!
Eh, ma Pisante è un grandissimo.
Bravo e molto simpatico.
Bravo e molto simpatico.
"gugo82":
Eh, ma Pisante è un grandissimo.
Bravo e molto simpatico.
Caspita, Lo conosci?
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