Teorema di Peano
Carissimi ragazzi, dallo studio del problema di Cauchy, mi sono imbattuto nel teorema di Peano per le funzioni per cui vale la sola continuità. Dalla lettura dell'enunciato ne ho carpito che sotto l'ipotesi di sola continuità si hanno infinite soluzioni per il problema in questione. Vorrei che voi mi consolidaste le ipotesi del teorema, che nel mio testo di riferimento non sono molto chiare. Ringrazio anticipatamente per la risposta.
Risposte
\( f: \Omega\to\mathbb{R}^n \) continua, con \( \Omega\subset\mathbb{R}^{n+1} \) aperto.
Allora per ogni \( (t_0, x_0) \in \Omega \) il problema di Cauchy
\[ \begin{cases}
x' = f(t,x),\\
x(t_0) = x_0
\end{cases}
\]
ammette almeno una soluzione definita in un intorno di \( t_0\).
Allora per ogni \( (t_0, x_0) \in \Omega \) il problema di Cauchy
\[ \begin{cases}
x' = f(t,x),\\
x(t_0) = x_0
\end{cases}
\]
ammette almeno una soluzione definita in un intorno di \( t_0\).
Benissimo, Rigel, quell'almeno non sta per "infinite", vero?O almeno in generale.
Rigel, se permetti una domanda, la dimostrazione è difficile? Mi sembra di aver capito che serva Ascoli-Arzelà (o qualche altro risultato del genere sulla compattezza in spazi di funzioni continue).
La dimostrazione che conosco io fa uso di certi teoremi di punto fisso (di Schauder, se non vado errato). Il fatto è che, senza la Lipschitzianità di \(f\), non hai speranza di poter rendere contrattivo l'operatore di Volterra
\[V[y](x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t, y(t))\, dt,\]
quindi niente teorema delle contrazioni. Tuttavia \(V\) ha comunque qualche buona proprietà: è continuo, e inoltre (grazie ad Ascoli-Arzelà) applica successioni limitate in successioni che ammettono una estratta convergente. (Si parla in questo caso di operatore completamente continuo o anche di operatore compatto ma attenzione: \(V\) non è necessariamente lineare). Scattano quindi teoremi di punto fisso come quello di Schauder a cui mi riferivo prima, più generali di quello delle contrazioni, e garantiscono l'esistenza di soluzioni. L'unicità però è irrimediabilmente perduta
\[V[y](x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t, y(t))\, dt,\]
quindi niente teorema delle contrazioni. Tuttavia \(V\) ha comunque qualche buona proprietà: è continuo, e inoltre (grazie ad Ascoli-Arzelà) applica successioni limitate in successioni che ammettono una estratta convergente. (Si parla in questo caso di operatore completamente continuo o anche di operatore compatto ma attenzione: \(V\) non è necessariamente lineare). Scattano quindi teoremi di punto fisso come quello di Schauder a cui mi riferivo prima, più generali di quello delle contrazioni, e garantiscono l'esistenza di soluzioni. L'unicità però è irrimediabilmente perduta
Chiedo venia, replico la domanda: le soluzioni non sono necessariamente infinite, vero?
@menale: "almeno una" significa una oppure più di una. Ciò che è vero è che, se ne esistono due, allora ne esiste tutto un continuo, dunque infinite (fenomeno del pennello di Peano). Possiamo quindi dire che o ne esiste una, o ne esistono infinite.
@paolo & dissonance: la dimostrazione può essere fatta anche utilizzando il teorema di Ascoli-Arzelà; la si trova, ad esempio, nel libro di Fusco-Marcellini-Sbordone.
@paolo & dissonance: la dimostrazione può essere fatta anche utilizzando il teorema di Ascoli-Arzelà; la si trova, ad esempio, nel libro di Fusco-Marcellini-Sbordone.
Ecco spiegato il fenomeno del pennello di Peano. 
@ dissonance & Rigel: grazie mille per le vostre risposte.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo