Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

[davide846]

Devo svolgere un esercizio utilizzando questo teorema.

$lim_{n \to \infty} int_{2}^{4} n^2 sen(1/(n^2x))dx$

1) Calcolare il limite
2) Convergenza uniforme da dimostrare, altrimenti il teorema non è valido.

Devo aver preso male gli appunti perché non ci sto capendo nulla.

$I = [2, 4]$

$fn(x) = n^2 sen(1/(n^2x))$ -> divido e moltiplico per x (che è != zero) -> $1/x*(n^2 x) sen(1/(n^2x)) = (1/x) [sen(1/(n^2x))]/(1/(n^2x));$

$[sen(1/(n^2x))]/(1/(n^2x))$ è un limite notevole che vale 1 perché $sen (an) -> 0 = 1$

Sono corretti questi passaggi? Non ho capito come si arriva al limite notevole.. Poi come dovrei proseguire?

Grazie

[Kashaman]

Ciao, li hai una successione di funzioni e in particolare ti stai chiedendo se vale "il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale", che ti ricordo :

Sia $f_n : [a,b] -> RR$ continua , $f : [a,b] -> RR$ limite uniforme di $(f_n)_{n\in NN}$ . Allora
$lim_n \int_a^b f_n(x) = \int_a^b lim_n f_n(x) = \int_a^b f(x)$.

(Prova a dimostrarlo, non è difficile. )


Ora, il primo passo è chiederti.. a cosa converge la fuccessione di funzioni $f_n(x)= n^2 sin(1/(n^2*x)) $ ?
Ora, considera $x \in [2,4]$ ,

$lim_n n^2 sin(1/(n^2*x)) = lim_n x n^2 sin(1/(n^2*x))*(1/x) = 1*(1/x) $
Quindi , puntualmente, $f_n -> 1/x , \forall x \in [2,4]$

Tale limite è uniforme?

[davide846]

Ti ringrazio, ora ci penso su. Vorrei sapere, però, se i passaggi che ho scritto fossero giusti.. Potresti controllare? Grazie