Teorema di Morera
Ciao a tutti!
Devo dimostrare il teorema di Morera nel caso delle forme differenziali, ossia se $ gamma $ è una curva chiusa e $ alpha $ è una forma differenziale, $ int_(gamma) alpha=0 hArr alpha $ è esatta.
Allora io la dimostro così:
$ lArr) $ Sia $ [a,b] $ il dominio di $ gamma $ e $ gamma(a)=gamma(b) $. Usando il teorema di integrazione delle forme esatte ho che: $ int_(a)^(b) alpha = f(gamma(b))-f(gamma(a)) $ . (scusate, ho riassunto i passaggi intermedi per risparmiare tempo)
Poiché $ gamma(a)=gamma(b) $ risulta che $ f(gamma(b))-f(gamma(a))=0 $, da cui la tesi.
$ rArr) $ ...
Qui mi trovo più in difficoltà. Pensavo di ragionare così: se l'integrale è 0 significa che esiste per forza una primitiva di $ alpha$ tale che $ int_(a)^(b) alpha = f(gamma(b))-f(gamma(a)) $, per cui $alpha$ è esatta. Però mi sembra riduttivo, che metodo usereste voi? Quello che ho fatto è corretto?
Devo dimostrare il teorema di Morera nel caso delle forme differenziali, ossia se $ gamma $ è una curva chiusa e $ alpha $ è una forma differenziale, $ int_(gamma) alpha=0 hArr alpha $ è esatta.
Allora io la dimostro così:
$ lArr) $ Sia $ [a,b] $ il dominio di $ gamma $ e $ gamma(a)=gamma(b) $. Usando il teorema di integrazione delle forme esatte ho che: $ int_(a)^(b) alpha = f(gamma(b))-f(gamma(a)) $ . (scusate, ho riassunto i passaggi intermedi per risparmiare tempo)
Poiché $ gamma(a)=gamma(b) $ risulta che $ f(gamma(b))-f(gamma(a))=0 $, da cui la tesi.
$ rArr) $ ...
Qui mi trovo più in difficoltà. Pensavo di ragionare così: se l'integrale è 0 significa che esiste per forza una primitiva di $ alpha$ tale che $ int_(a)^(b) alpha = f(gamma(b))-f(gamma(a)) $, per cui $alpha$ è esatta. Però mi sembra riduttivo, che metodo usereste voi? Quello che ho fatto è corretto?
Risposte
A naso direi che il teorema di Morera si enunzi così:
Idee non sono al momento in grado di fornirtele...
Siano \(\alpha\) una forma differenziale, essa è esatta se e solo se per ogni curva chiusa (e regolare a tratti) \(\gamma\) si ha che \(\int_{\gamma}\alpha=0\).
Idee non sono al momento in grado di fornirtele...
Hai guardato qui?
(Tra parentesi, io lo enuncio in maniera un po' diversa, preferisco la versione complessa: alla buona, se l'integrale di una funzione definita su un connesso in $\CC$ è nullo su ogni triangolo, allora la funzione è olomorfa).
Comunque, credo che tu possa trovare la dimostrazione su qualsiasi testo di Analisi o di Geometria che tratti le forme differenziali. Se vuoi, c'è anche una dimostrazione su queste note, a pagina 26-27.
(Tra parentesi, io lo enuncio in maniera un po' diversa, preferisco la versione complessa: alla buona, se l'integrale di una funzione definita su un connesso in $\CC$ è nullo su ogni triangolo, allora la funzione è olomorfa).
Comunque, credo che tu possa trovare la dimostrazione su qualsiasi testo di Analisi o di Geometria che tratti le forme differenziali. Se vuoi, c'è anche una dimostrazione su queste note, a pagina 26-27.
Grazie, sono riuscita a risolvere 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo