Teorema di Minkovskij (?)
l'altro giorno il mio prof di Analisi 2 ha fatto una divagazione di quelle che tutti gli studenti fanno oooohh 
: . mi sono accorto della straordinarietà della cosa solo una volta giunto a casa. vi chiedo dove posso approfondire la cosa! (se non nel proseguio degli studi)
vi eravate mai accorti che la superficie laterale di una sfera corrisponde alla derivata del volume? (io no, e mi sono sentito estremamente ingenuo!)
lo stesso per area del cerchio e lunghezza della circonferenza, e idem per una palla di dimensione 1, che ha misura 2R mentre il suo bordo ha dimensione 2.
insomma, per una palla la misura del bordo corrisponde alla derivata della misura della palla stessa.
è stata anche citato questo teorema di Minkovskij (di cui non trovo referenza in rete, forse ha un nome shared con qualche altro matematico? boh!):
dato un volume S associandoci $S[epsilon]={x: d(x;S} < epsilon}$ il suo bordo avrà dimensione
$lim(epsilon->0) |S[epsilon]|/(2epsilon)$
mi sapete indirizzare da qualche parte?
: . mi sono accorto della straordinarietà della cosa solo una volta giunto a casa. vi chiedo dove posso approfondire la cosa! (se non nel proseguio degli studi)vi eravate mai accorti che la superficie laterale di una sfera corrisponde alla derivata del volume? (io no, e mi sono sentito estremamente ingenuo!)
lo stesso per area del cerchio e lunghezza della circonferenza, e idem per una palla di dimensione 1, che ha misura 2R mentre il suo bordo ha dimensione 2.
insomma, per una palla la misura del bordo corrisponde alla derivata della misura della palla stessa.
è stata anche citato questo teorema di Minkovskij (di cui non trovo referenza in rete, forse ha un nome shared con qualche altro matematico? boh!):
dato un volume S associandoci $S[epsilon]={x: d(x;S} < epsilon}$ il suo bordo avrà dimensione
$lim(epsilon->0) |S[epsilon]|/(2epsilon)$
mi sapete indirizzare da qualche parte?
Risposte
Infatti queste due cose sono fondamentali in meccanica statistica, perché considera che per una particella libera (gas perfetto) l'hamiltoniana ha la forma $p^2/[2m]$ e dunque la superficie ad energia fissata $E$ avrà la forma $p^2/[2m]=E$, ora, per un gas di N particelle questa sarà la superficie di una sfera a 6N-1 dimensioni nello spazio delle fasi (devi sommare le tre componenti di p per N particelle, mentre lo spazio delle fasi ha in genere 6N dimensioni), questo fatto è importante per calcolare con la mecc. stat. l'eq. del gas perfetto.
Inoltre quello che tu chiami teorema di Minkowskj potrebbe rappresentare la matematizzazione del caveat geometrico alla estensività di alcune grandezze termodinamiche, per via di eventuali superfici frattali il cui bordo avrebbe misura n-1 dimensionale infinita.
Inoltre quello che tu chiami teorema di Minkowskj potrebbe rappresentare la matematizzazione del caveat geometrico alla estensività di alcune grandezze termodinamiche, per via di eventuali superfici frattali il cui bordo avrebbe misura n-1 dimensionale infinita.
@wedge
si tratta di Minkowski
ha fatto un po' di cose...
io uso ad esempio il teorema di separazione (di convesssi mediante un iperpiano) quando dimostro che, sotto opportune ipotesi di convessità un punto di ottimo parietiano lo si può ottenere scalarizzando
lo spazio tempo di Minkowski, i funzionali di Minkowski...
vedi ad es.:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk ... owski.html
e anche Wikipedia, forse quello che ti interessa è qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski- ... _dimension
ciao
si tratta di Minkowski
ha fatto un po' di cose...
io uso ad esempio il teorema di separazione (di convesssi mediante un iperpiano) quando dimostro che, sotto opportune ipotesi di convessità un punto di ottimo parietiano lo si può ottenere scalarizzando
lo spazio tempo di Minkowski, i funzionali di Minkowski...
vedi ad es.:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk ... owski.html
e anche Wikipedia, forse quello che ti interessa è qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski- ... _dimension
ciao
ehm... conosco bene Minkovskij/Minkowski (più la sua metrica e le questioni dello spazio tempo che non il resto)
il fatto è che nello scrivere i nomi russi preferisco sempre la traslitterazione fedele dal cirillico. ma non sono così ingenuo da non aver cercato su google anche con il nome "all'occidentale"
non era un problema di nome insomma.
@Maxos: perdonami ma al momento faccio fatica a seguirti quando parli di hamiltoniana...
interessante che entrambi (direttamente o con i link) parlate di frattali.
il fatto è che nello scrivere i nomi russi preferisco sempre la traslitterazione fedele dal cirillico. ma non sono così ingenuo da non aver cercato su google anche con il nome "all'occidentale"
non era un problema di nome insomma.
@Maxos: perdonami ma al momento faccio fatica a seguirti quando parli di hamiltoniana...
interessante che entrambi (direttamente o con i link) parlate di frattali.
@wedge
in effetti mi era sembrato molto strano
è che leggendo il tuo post mi era sembrato di capire che fosse proprio un problema di nome
però avrei anche potuto fare 2+2
in effetti mi era sembrato molto strano
è che leggendo il tuo post mi era sembrato di capire che fosse proprio un problema di nome
però avrei anche potuto fare 2+2
Eureka, ho trovato la chiave di volta!
in effetti era un problema di nome non su Minkowski in sè, ma sul "teorema", che infatti ho scoperto chiamarsi "formula di Minkowski-Steiner" http://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Steiner_formula
in questa ricerca mi sono inoltre accorto che è doveroso fare un mea culpa. Minkowski non è russo ma tedesco nato in Lituania! evidentemente un tempo i suoi avi si chiamavano Minkovskij o meglio Минковский , ma poi il cognome è stato traslitterato nel "tedesco" Minkowski. io sono tornato indietro e ho ritraslitterato rigorosamente. chissà se in pari alla variazione grafica c'è stata una rotazione sonora tra la vocale posteriore chiusa e la sua approssimante velare ossia la fricativa labiodentale sonora
in effetti era un problema di nome non su Minkowski in sè, ma sul "teorema", che infatti ho scoperto chiamarsi "formula di Minkowski-Steiner" http://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Steiner_formula
in questa ricerca mi sono inoltre accorto che è doveroso fare un mea culpa. Minkowski non è russo ma tedesco nato in Lituania! evidentemente un tempo i suoi avi si chiamavano Minkovskij o meglio Минковский , ma poi il cognome è stato traslitterato nel "tedesco" Minkowski. io sono tornato indietro e ho ritraslitterato rigorosamente. chissà se in pari alla variazione grafica c'è stata una rotazione sonora tra la vocale posteriore chiusa e la sua approssimante velare ossia la fricativa labiodentale sonora
Basti pensare al fatto che gli inglesi traslitterano orridamente in "y", brrr....
Considera che il Lituano è la lingua indoeuropea parlata più arcaica, avran tagliato la testa al toro.
Ma scusa, non è sonora la "j" nelle lingue slave!
In cirillico ha il suo bravo simbolo la "j" sonora fricativa et cetera.
P.S.
L'Hamiltoniana è l'energia in funzione delle coordinate e dei momenti.
Considera che il Lituano è la lingua indoeuropea parlata più arcaica, avran tagliato la testa al toro.
Ma scusa, non è sonora la "j" nelle lingue slave!
In cirillico ha il suo bravo simbolo la "j" sonora fricativa et cetera.
P.S.
L'Hamiltoniana è l'energia in funzione delle coordinate e dei momenti.
Il Teorema citato da wedge è un utilissimo strumento di Teoria geometrica della misura; in generale quel limite scritto si chiama contenuto di Minkowsky dell'insieme dato, e non coincide con la sua "area". Sotto certe condizioni invece si ha l'uguaglianza.
Si tratta di un mezzo potente che permette di ricondurre stime su integrali di superficie a stime su integrali di volume.
Si tratta di un mezzo potente che permette di ricondurre stime su integrali di superficie a stime su integrali di volume.
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