Teorema di Liouville
Buongiorno,
Non riesco a capire la pratica di questo teorema.
Il teorema è così enunciato:
Siano g(x) e h(x) funzioni razionali
Sia g non costante
Se \( \int_a^b e^g*h \ \text{d} x = F(x) + c\) (l'integrale è indefinito solo che non trovo la formula per scriverlo indefinito), con F(x) funzione elementare
Allora F(x) = e^g(x) x r(x) , con r(x) funzione razionale.
Se suppongo che esistano p(x) e q(x) polinomi primi tra loro e g(x) funzione non constante tali che F(x) = e^g(x)*p(x) /q(x).
Impongo che F(x) sia primitiva di e^g(x)*h(x) e derivo F(x)....
Devo arrivare a questa formula ma non riesco a capire i passaggi per ottenerla:
[g'(x)*p(x) + p'(x) - h(x)*q(x) ] * q(x) = p(x) * q'(x)
Grazie in anticipo.
Non riesco a capire la pratica di questo teorema.
Il teorema è così enunciato:
Siano g(x) e h(x) funzioni razionali
Sia g non costante
Se \( \int_a^b e^g*h \ \text{d} x = F(x) + c\) (l'integrale è indefinito solo che non trovo la formula per scriverlo indefinito), con F(x) funzione elementare
Allora F(x) = e^g(x) x r(x) , con r(x) funzione razionale.
Se suppongo che esistano p(x) e q(x) polinomi primi tra loro e g(x) funzione non constante tali che F(x) = e^g(x)*p(x) /q(x).
Impongo che F(x) sia primitiva di e^g(x)*h(x) e derivo F(x)....
Devo arrivare a questa formula ma non riesco a capire i passaggi per ottenerla:
[g'(x)*p(x) + p'(x) - h(x)*q(x) ] * q(x) = p(x) * q'(x)
Grazie in anticipo.
Risposte
A quale teorema di Liouville ti riferisci? Riporta l'enunciato e qualche riga in cui spieghi ciò che hai scritto nel post precedente, ché francamente non sono riuscito a seguire.
"marty.nani":
Buongiorno,
Non riesco a capire la pratica di questo teorema.
Se suppongo che esistano p(x) e q(x) polinomi primi tra loro e g(x) funzione non constante tali che F(x) = e^g(x) x p(x) /q(x).
Impongo che F(x) sia primitiva di e^g(x) x h(x) e derivo F(x)....
Devo arrivare a questa formula [g'(x) x p(x) + p'(x) - h(x) x q(x) ] x q(x) = p(x) x q'(x)
Grazie in anticipo.
Il teorema al quale mi riferisco è così enunciato:
Siano g e h funzioni razionali
Sia g(x) non costante
Se \( \int_ e^g(x) x h(x) \ \text{d} x = F(x) + c)
Con F(x) funzione elementare
Allora F(x) = e^g(x) x r(x) , con r(x) funzione razionale.
Vediamo di capirci. 
Il teorema di Liouville a cui ti riferisci è il seguente (smentiscimi se sbaglio).
>>
Siano $g(x)$ e $h(x)$ funzioni razionali $g$ non costante, se
$\int e^(g(x)) h(x)dx$
è una funzione elementare, allora essa è della forma
$e^(g(x)) r(x)$
dove $r(x)$ è una funzione razionale.
<<
Premettendo che non l'ho mai visto questo teorema prima d'ora (l'ho trovato solo da una parte googlando, e l'ho riscritto qui), ti chiedi qual è l'utilità pratica.
Secondo me non molta, ma, a livello "un pizzico" meno pratico, ti dice che se riesci a calcolare l'integrale di
$\int e^((P_1(x))/(Q_1(x)))\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}dx$
il risultato è del tipo
$e^((P_3(x))/(Q_3(x))) \frac{P_4(x)}{Q_4(x)}$
con $P_i(x)$ e $Q_i(x)$ polinomi ($i=1,...,4$).
Magari mi verrebbe da dire che serve per raffronto, cioè se il risultato ti viene qualcosa di non riconducibile a quella forma... vuol dire che l'integrale è sbagliato.
Ricordando, inoltre, che anche $f(x)=a$ (con $a$ costante) è un polinomio, ovviamente di grado zero, un esempio pratico potrebbe essere questo
http://matematicamente.it/forum/viewtop ... 6&t=128086
in cui si vede che la soluzione rispecchia "l'estetica" imposta da questo teorema.
Ora, in quel thread, attualmente il forumista - vedendo il nick direi "la" forumista - deve ancora trovare la soluzione: a occhio $e^(-u)(-1-u)$ ($+c$ se era indefinito, ora non me lo ricordo), cioè $e^(-x^2)(-1-x^2)$ che riporta come forma.
Il teorema di Liouville a cui ti riferisci è il seguente (smentiscimi se sbaglio).
>>
Siano $g(x)$ e $h(x)$ funzioni razionali $g$ non costante, se
$\int e^(g(x)) h(x)dx$
è una funzione elementare, allora essa è della forma
$e^(g(x)) r(x)$
dove $r(x)$ è una funzione razionale.
<<
Premettendo che non l'ho mai visto questo teorema prima d'ora (l'ho trovato solo da una parte googlando, e l'ho riscritto qui), ti chiedi qual è l'utilità pratica.
Secondo me non molta, ma, a livello "un pizzico" meno pratico, ti dice che se riesci a calcolare l'integrale di
$\int e^((P_1(x))/(Q_1(x)))\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}dx$
il risultato è del tipo
$e^((P_3(x))/(Q_3(x))) \frac{P_4(x)}{Q_4(x)}$
con $P_i(x)$ e $Q_i(x)$ polinomi ($i=1,...,4$).
Magari mi verrebbe da dire che serve per raffronto, cioè se il risultato ti viene qualcosa di non riconducibile a quella forma... vuol dire che l'integrale è sbagliato.
Ricordando, inoltre, che anche $f(x)=a$ (con $a$ costante) è un polinomio, ovviamente di grado zero, un esempio pratico potrebbe essere questo
http://matematicamente.it/forum/viewtop ... 6&t=128086
in cui si vede che la soluzione rispecchia "l'estetica" imposta da questo teorema.
Ora, in quel thread, attualmente il forumista - vedendo il nick direi "la" forumista - deve ancora trovare la soluzione: a occhio $e^(-u)(-1-u)$ ($+c$ se era indefinito, ora non me lo ricordo), cioè $e^(-x^2)(-1-x^2)$ che riporta come forma.
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