Teorema di limitatezza locale

[Darèios89]

C'è questo teorema:

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_limitatezza

Che abbiamo fatto, ma mi manca purtroppo anche per questo la dimostrazione.
Ora...per le successioni l'ho fatta, dovrebbe essere il teorema che dice che ogni succesioni convergente è limitata.
Però non so come farla per le funzioni.
Come si farebbe?

[Luca.Lussardi]

Prendi la definizione di limite e scegli un $\epsilon$ che ti piace.

[Darèios89]

Cioè fammi capire....prendo la definizione di limite:

[tex]\forall \epsilon >0 \exists \delta >0:\forall x\in I_\delta(x_0)-->|f(x)-l|<\epsilon[/tex]

Cioè per la proprietà del valore assoluto, scelgo epsilon qualunque e ottengo:

[tex]l-\epsilon
Quindi...la funzione così è limitata...sia superiormente che inferiormente.....
Quindi il [tex]\delta[/tex] che devo prendere è esattamente quello della definizione e ho la tesi, fine della dimostrazione?

[regim]

Per le successioni c'è un teorema che dice che ogni intorno del limite lascia fuori al più un numero finito di termini, questa è una condizione sufficiente e necessaria per la convergenza, quindi la limitatezza è globale, mi si passi il termine.
Per le funzioni questo ragionamento non regge, perchè in generale fuori ci possono essere un numero infinito di punti, ma localmente la tua funzione è, in un opportuno intorno del punto in cui stai calcolando il limite, limitata, cioè compresa in un intorno del punto limite, e l'espressione che hai scritto alla fine, sebbene limitata al caso di funzioni reali, dice proprio questo.

[Darèios89]

Ah...bene...quindi mi fai capire che...la dimostrazione...è questa...molto banalmente..pensavo cose peggiori...