Teorema di Laurent
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per la dimostrazione del teorema di Laurent.
Sia $z_0 in CC$ e $C_(R_1,R_2)$ una corona circolare di centro $z_0$ e raggi $0<=R_1
con $a_n=1/(2pii)int_(gamma_rho) (f(zeta))/(zeta-z_0)d zeta$
dove $gamma_rho$ è una circonferenza di raggio $rho$ e centro $z_0$ tale che $R_1
Dimostrazione
Presi r ed R tali che $R_1
$f(z)=1/(2pii)int_(gamma_R) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta-1/(2pii)int_(gamma_r) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta$
Considerando il secondo integrale
$-1/(zeta-z)=1/(z-z_0)1/(1-(zeta-z_0)/(z-z_0))=1/(z-z_0)sum_(k=0)^(+oo) ((zeta-z_0)/(z-z_0))^k=sum_(k=0)^(+oo) (zeta-z_0)^k/(z-z_0)^(k+1)$
Sostituendo nel secondo integrale e integrando per serie si ottiene
$-1/(2pii)int_(gamma_r) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=1/(2pii)int_(gamma_r) sum_(k=0)^(+oo) f(zeta) (zeta-z_0)^k/(z-z_0)^(k+1)d zeta= sum_(k=0)^(+oo) 1/(2pii) int_(gamma_r)f(zeta) (zeta-z_0)^kd zeta1/(z-z_0)^(k+1)$
A questo punto, sul mio testo di riferimento, ho trovato il seguente passaggio
$sum_(k=0)^(+oo) 1/(2pii) int_(gamma_r)f(zeta) (zeta-z_0)^kd zeta1/(z-z_0)^(k+1)= sum_(n=-oo)^(-1) 1/(2pii) int_(gamma_r)f(zeta)/(zeta-z_0)^(n+1)d zeta (z-z_0)^n$
Mi sapreste spiegare come si arriva a tale conclusione?
volevo chiedervi una mano per la dimostrazione del teorema di Laurent.
Sia $z_0 in CC$ e $C_(R_1,R_2)$ una corona circolare di centro $z_0$ e raggi $0<=R_1
con $a_n=1/(2pii)int_(gamma_rho) (f(zeta))/(zeta-z_0)d zeta$
dove $gamma_rho$ è una circonferenza di raggio $rho$ e centro $z_0$ tale che $R_1
Dimostrazione
Presi r ed R tali che $R_1
$f(z)=1/(2pii)int_(gamma_R) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta-1/(2pii)int_(gamma_r) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta$
Considerando il secondo integrale
$-1/(zeta-z)=1/(z-z_0)1/(1-(zeta-z_0)/(z-z_0))=1/(z-z_0)sum_(k=0)^(+oo) ((zeta-z_0)/(z-z_0))^k=sum_(k=0)^(+oo) (zeta-z_0)^k/(z-z_0)^(k+1)$
Sostituendo nel secondo integrale e integrando per serie si ottiene
$-1/(2pii)int_(gamma_r) (f(zeta))/(zeta-z)d zeta=1/(2pii)int_(gamma_r) sum_(k=0)^(+oo) f(zeta) (zeta-z_0)^k/(z-z_0)^(k+1)d zeta= sum_(k=0)^(+oo) 1/(2pii) int_(gamma_r)f(zeta) (zeta-z_0)^kd zeta1/(z-z_0)^(k+1)$
A questo punto, sul mio testo di riferimento, ho trovato il seguente passaggio
$sum_(k=0)^(+oo) 1/(2pii) int_(gamma_r)f(zeta) (zeta-z_0)^kd zeta1/(z-z_0)^(k+1)= sum_(n=-oo)^(-1) 1/(2pii) int_(gamma_r)f(zeta)/(zeta-z_0)^(n+1)d zeta (z-z_0)^n$
Mi sapreste spiegare come si arriva a tale conclusione?
Risposte
Hanno sostituito $k$ con $-n$, no ?
Non vedo nient'altro di strano.
Non vedo nient'altro di strano.
Scusa ma continuo a non capire.
Come scrive Quinzio, l'ultima uguaglianza si ottiene operando un cambio di indici.
Scusatemi entrambi, ma non so come effettuare il cambio degli indici. Purtroppo è una grossa lacuna.
Scusa ma questo non è possibile.
Se hai scritto (e capito) tutta quella catena logica di formule, non puoi non capire come si effettua una sostituzione con $k=-n$...
Se hai scritto (e capito) tutta quella catena logica di formule, non puoi non capire come si effettua una sostituzione con $k=-n$...
"Quinzio":
Scusa ma questo non è possibile.
Se hai scritto (e capito) tutta quella catena logica di formule, non puoi non capire come si effettua una sostituzione con $k=-n$...
Ciò che non ho capito è cosa succede nel simbolo di sommatoria una volta che si sostituisce k=-n. Strano a dirsi ma per il resto mi è tutto chiaro
Inoltre penso si debba sostituire -(n+1). Vi pare corretto?
up
Potrebbe tornarti utile questa definizione delle serie doppiamente infinite:
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}\Bigl(\frac{1}{z-z_0}\Bigr)^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^{n}
\]
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}\Bigl(\frac{1}{z-z_0}\Bigr)^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^{n}
\]
Penso di aver capito. Dato che:
$sum_(n=h)^(+oo) a_(-n)=sum_(n=-oo)^(-h) a_n$
si ha allora che
$sum_(k=0)^(+oo)[ 1/(2 pi i) int_(+gamma_r) f(zeta)(zeta-z_0)^k d zeta 1/(z-z_0)^(k+1)]=$
$sum_(k=-oo)^(0)[ 1/(2 pi i) int_(+gamma_r) f(zeta)(zeta-z_0)^-k d zeta 1/(z-z_0)^(-k+1)]$
Ponendo infine k=n+1 si ottiene
$sum_(n=-oo)^(-1)[ 1/(2 pi i) int_(+gamma_r) f(zeta)(zeta-z_0)^-(n+1) d zeta (z-z_0)^n]$
Vi pare corretto?
$sum_(n=h)^(+oo) a_(-n)=sum_(n=-oo)^(-h) a_n$
si ha allora che
$sum_(k=0)^(+oo)[ 1/(2 pi i) int_(+gamma_r) f(zeta)(zeta-z_0)^k d zeta 1/(z-z_0)^(k+1)]=$
$sum_(k=-oo)^(0)[ 1/(2 pi i) int_(+gamma_r) f(zeta)(zeta-z_0)^-k d zeta 1/(z-z_0)^(-k+1)]$
Ponendo infine k=n+1 si ottiene
$sum_(n=-oo)^(-1)[ 1/(2 pi i) int_(+gamma_r) f(zeta)(zeta-z_0)^-(n+1) d zeta (z-z_0)^n]$
Vi pare corretto?
Prendendo per buono il procedimento precedente volevo porre alla vostra attenzione un altro mio dilemma. Sul mio testo di riferimento si arriva a dimostrare l'unicità dello sviluppo in serie procedendo nella seguente maniera.
Poniamo
$g(z)=sum_(n=0)^(+oo) a_n (z-z_0)^n$
$h(z)=sum_(n=-oo)^(-1) a_n (z-z_0)^n$
Data la circonferenza di raggio $rho$ consideriamo il seguente integrale:
$int_(+gamma_rho) (g(z))/(z-z_0)^(k+1) dz =int_(+gamma_rho) sum_(n=0)^(+oo) a_n (z-z_0)^(n-k-1) dz$
La serie converge uniformemente in $gamma_rho$ dato che $sum_(n=0)^(+oo) a_n (z-z_0)^n$ è una serie di potenze con raggio di convergenza maggiore o uguale $R_2$ e $1/(z-z_0)^(k+1)$ è una funzione limitata.
Consideriamo adesso l'integrale
$int_(+gamma_rho)(h(z))/(z-z_0)^(k+1) dz =int_(+gamma_rho) sum_(n=-oo)^(-1) a_n (z-z_0)^(n-k-1) dz$
Ponendo $z-z_0=1/omega$,
$sum_(n=-oo)^(-1) a_(n) (z-z_0)^n=sum_(n=-oo)^(-1) a_(n) 1/(omega^(n))=sum_(p=1)^(+oo) a_(p) omega^p $
con raggio di convergenza maggiore o uguale a $1/R_1$,$1/R_2<|omega|<1/R_1$. La serie è uniformemente convergente sulla circonferenza di raggio $1/rho$. Si avrà allora che $sum_(n=-oo)^(-1) a_n (z-z_0)^(n-k-1)$ sarà uniformemente convergente su $gamma_rho$.
Possiamo allora scrivere
$int_(+gamma_rho)(g(z))/(z-z_0)^(k+1) dz = sum_(n=0)^(+oo)a_n int_(+gamma_rho) (z-z_0)^(n-k-1) dz$
$int_(+gamma_rho)(h(z))/(z-z_0)^(k+1) dz =sum_(n=-oo)^(-1)a_n int_(+gamma_rho) (z-z_0)^(n-k-1) dz$
$int_(+gamma_rho)(f(z))/(z-z_0)^(k+1) dz = sum_(n=-oo)^(+oo)a_n int_(+gamma_rho) (z-z_0)^(n-k-1) dz$
$int_(+gamma_rho) (z-z_0)^(n-k-1) dz={(0,n!=k),(2 pi i,n=k):}$
Mi sapreste spiegare come si giunge alla tesi?
Poniamo
$g(z)=sum_(n=0)^(+oo) a_n (z-z_0)^n$
$h(z)=sum_(n=-oo)^(-1) a_n (z-z_0)^n$
Data la circonferenza di raggio $rho$ consideriamo il seguente integrale:
$int_(+gamma_rho) (g(z))/(z-z_0)^(k+1) dz =int_(+gamma_rho) sum_(n=0)^(+oo) a_n (z-z_0)^(n-k-1) dz$
La serie converge uniformemente in $gamma_rho$ dato che $sum_(n=0)^(+oo) a_n (z-z_0)^n$ è una serie di potenze con raggio di convergenza maggiore o uguale $R_2$ e $1/(z-z_0)^(k+1)$ è una funzione limitata.
Consideriamo adesso l'integrale
$int_(+gamma_rho)(h(z))/(z-z_0)^(k+1) dz =int_(+gamma_rho) sum_(n=-oo)^(-1) a_n (z-z_0)^(n-k-1) dz$
Ponendo $z-z_0=1/omega$,
$sum_(n=-oo)^(-1) a_(n) (z-z_0)^n=sum_(n=-oo)^(-1) a_(n) 1/(omega^(n))=sum_(p=1)^(+oo) a_(p) omega^p $
con raggio di convergenza maggiore o uguale a $1/R_1$,$1/R_2<|omega|<1/R_1$. La serie è uniformemente convergente sulla circonferenza di raggio $1/rho$. Si avrà allora che $sum_(n=-oo)^(-1) a_n (z-z_0)^(n-k-1)$ sarà uniformemente convergente su $gamma_rho$.
Possiamo allora scrivere
$int_(+gamma_rho)(g(z))/(z-z_0)^(k+1) dz = sum_(n=0)^(+oo)a_n int_(+gamma_rho) (z-z_0)^(n-k-1) dz$
$int_(+gamma_rho)(h(z))/(z-z_0)^(k+1) dz =sum_(n=-oo)^(-1)a_n int_(+gamma_rho) (z-z_0)^(n-k-1) dz$
$int_(+gamma_rho)(f(z))/(z-z_0)^(k+1) dz = sum_(n=-oo)^(+oo)a_n int_(+gamma_rho) (z-z_0)^(n-k-1) dz$
$int_(+gamma_rho) (z-z_0)^(n-k-1) dz={(0,n!=k),(2 pi i,n=k):}$
Mi sapreste spiegare come si giunge alla tesi?
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