Teorema di Lagrange per funzionali
Salve a tutti,
ho un problema nel risolvere il seguente esercizio: Dimostrare che esiste una soluzione unica dell'equazione integrale:
$u(t)=1+ \int_0^Acos(u(y)t)dy$ con $yin[0,A]$.
Quello che devo fare è, data la continuità della funzione, usare il teorema delle contrazioni per stimare la distanza fra le funzioni:
$F(u(y))$ e $U(v(y))$. Quindi $d_(oo)(U,V)=\max_{yin[0,A]}| \int_0^Acos(u(y)t)-cos(v(y))dy|$ Questo può essere stimato utilizzando il teorema di Lagrange, cioè notando che $|cos(u(y)t)-cos(v(y))|=|sen(\xi)||(u(y)-v(y))$| e poi procedere con delle normali maggiorazioni. Ma quello che mi chiedo è come funzioni il teorema di Lagrange per funzionali. Cioè in quale internallo (di numeri o di funzioni) della scegliere la $\xi$.
Grazie
ho un problema nel risolvere il seguente esercizio: Dimostrare che esiste una soluzione unica dell'equazione integrale:
$u(t)=1+ \int_0^Acos(u(y)t)dy$ con $yin[0,A]$.
Quello che devo fare è, data la continuità della funzione, usare il teorema delle contrazioni per stimare la distanza fra le funzioni:
$F(u(y))$ e $U(v(y))$. Quindi $d_(oo)(U,V)=\max_{yin[0,A]}| \int_0^Acos(u(y)t)-cos(v(y))dy|$ Questo può essere stimato utilizzando il teorema di Lagrange, cioè notando che $|cos(u(y)t)-cos(v(y))|=|sen(\xi)||(u(y)-v(y))$| e poi procedere con delle normali maggiorazioni. Ma quello che mi chiedo è come funzioni il teorema di Lagrange per funzionali. Cioè in quale internallo (di numeri o di funzioni) della scegliere la $\xi$.
Grazie
Risposte
Non ti incasinare con le variabili, per forza ti sei confuso. Che cosa significa quel \(y \in [0, A]\) che scrivi ovunque se poi \(y\) è una variabile muta?
scusa è t che varia fra 0 e A...
Devo dire la verità, l'operatore \(F(t):=1+\int_0^A \cos (t\ u(y))\ \text{d} y\) non mi sembra una contrazione di \(C([0,A])\)... O almeno, se lo è, non mi pare lo sia in tutto \([0,A]\).
Invero usando la condizione di Lipschitz per il coseno, si trova:
\[|F(t)-F[v](t)|\leq \lVert u-v\rVert_\infty\ \int_0^A t\ \text{d} y= At\ \lVert u-v\rVert_\infty\]
quindi:
\[\lVert F-F[v]\rVert_\infty \leq \sup_{t\in [0,A]} At\ \lVert u-v\rVert_\infty =A^2\lVert u-v\rVert_\infty\; .\]
Invero usando la condizione di Lipschitz per il coseno, si trova:
\[|F(t)-F[v](t)|\leq \lVert u-v\rVert_\infty\ \int_0^A t\ \text{d} y= At\ \lVert u-v\rVert_\infty\]
quindi:
\[\lVert F-F[v]\rVert_\infty \leq \sup_{t\in [0,A]} At\ \lVert u-v\rVert_\infty =A^2\lVert u-v\rVert_\infty\; .\]
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