Teorema di Lagrange

[SteezyMenchi]

Ho bisogno che qualcuno mi aiuti con questo esercizio:
Usando il teor. di Lagrange dimostrare che $|arctanx-arctany|<=|x-y| x,y in R$ e $|e^x-e^y|<=|x-y|, x,y in (-1,1)$
Non capisco cosa devo sfruttare: per esempio nel primo posso dire (supponendo x > y) dividendo entrambi i membri per $|x-y|$ (il valore assoluto non è necessario) che e prendendo $f(x)=arctanx$ che esiste un $c in R : f'(c)=$membro sinistro dell'equazione ottenuta. Poi ho provato a dire che la derivata di c deve essere uguale a 1 dalla prima equazione. Ma non riesco ad arrivare a nulla. Sul mio libro la dimostrazione del teorema di Fermat sembra molto simile alla richiesta dell'esercizio. Però il prof ha scritto usare Lagrange.

[Studente Anonimo]

"SteezyMenchi":
... il prof ha scritto ...

Infatti, per il teorema di Lagrange:

$[-1 lt x lt \xi lt y lt 1] ^^ [(arctany-arctanx)/(y-x)=1/(1+\xi^2) lt= 1]$

Invece, per quanto riguarda l'esponenziale, se:

$[-1 lt x lt 1] ^^ [-1 lt y lt 1]$

la tesi è falsa.

[SteezyMenchi]

capisco che hai applicato Lagrange all'intervallo [-1,1] ma non capisco né il motivo per cui lo hai fatto né come tu abbia dimostrato la tesi(che deve valere per tutti gli $x,y in R$). Potresti essere meno sintetico per favore. Grazie comunque Elias.

[Studente Anonimo]

Per il teorema di Lagrange:

$EE \xi in (x,y) : (f(y)-f(x))/(y-x)=f'(\xi)$

In questo caso:

$EE \xi in (x,y) : (arctany-arctanx)/(y-x)=1/(1+\xi^2)$

Poichè:

$AA \xi in (x,y) : 1/(1+\xi^2) lt= 1$

allora:

$(arctany-arctanx)/(y-x) lt= 1$

La tesi vale anche senza limitazioni su x e y. Ora dovrebbe essere più chiaro.

[SteezyMenchi]

grazie mille @anonymous_0b37e9 per la spiegazione