Teorema di Lagrange

[frollo1]

Ciao a tutti, ho fatto questi 4 esercizi che mi chiedono di verificare se le funzioni soddisfino o meno il T.di Lagrange, nonchè di determinare il punto X0... non ho modo di sapere se ho svolto correttamente... potreste aiutarmi? Grazie

1) $y=x^3+2x-3$ $[-1,3]$
dominio R continua. derivabile in (a,b)

derivata $ (3x^2+2)$

$ (3x^2+2)= 18/2$
$ x = sqrt(16/3)$

2) $y=x^3-x^2+2$ $[-1,2]$
dominio R continua. derivabile in (a,b)

derivata $ (3x^2-2x)$

$ 3x^2-2x-6= 0 $
$ x = (2+ sqrt(76))/6$

3) $y=(3-x^2)/(x-2)$ $[1,3]$
dominio $x ≠ 2 $ non è continua

4) $y=(2e^x)-x$ $[0,2]$
dominio R continua. derivabile in (a,b)

derivata $(2e^x)-1$

$ (2e^x)-1= ((2e^2)-2-2)/2 0 $
$ x = ln( e^2-1)/2 $

[Cantor99]

Eccomi frollo

Hai applicato perfettamente la teoria ma ti sei perso in alcuni conti

1) $3x^2+2=9 => x^2=+-\frac{7}{3}$
(tutti e due i punti vanno presi)

2) Il rapporto $\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=2$ ( ti sei dimenticato forse il numeratore?) I punti dovrebbero essere $x=\frac{1+-sqrt(10)}{2}$

3) corretto

4) $2e^x=e^2-1 => e^x=\frac{e^2-1}{2}$ $=> x=ln(\frac{e^2-1}{2})$

Spero che il caldo non abbia portato me a sbagliare quindi rivediti i conti!

[frollo1]

Gentilissimo grazie per la risposta


1) $x= - sqrt(7/3)$ non dovrebbe essere fuori dall'intervallo?

2) $3x^2-2x-2=0$ può essere che dia $x=(1-sqrt(7))/3$ e $x=(1+sqrt(7))/3$

[Cantor99]

Ops! Sì hai ragionissima

[frollo1]

Ultimissima cosa: ho trovato un esercizio sul teorema di Rolle, che però possiede il valore assoluto ... ho provato mettendo
f(a)= f(b) e svolgendo prima con la relazione dentro il valore assoluto maggiore uguale 0 e poi inferiore ...si fa così?

la funzione è $y=|(x^2)-2x|$ in $[1-sqrt(2), 1+sqrt(2)]$

[Cantor99]

qual è l'intervallo?

[Cantor99]

Questa funzione non è difficilmente disegnabile e si vede subuto che è simmetrica rispetto l'asse $x=1$. Senz'altro quindi $f(1-sqrt(2))=f(1+sqrt(2))$
In ogni caso un calcolo diretto te lo fa vedere lo stesso

Delle ipotesi manca la derivabilità in $x=0$ e $x=2$, quindi Rolle non è applicabile. Ti trovi con questo fatto?

[frollo1]

però il calcolo di f(a)=f(b) come si fa in questo caso ? come devo tenere conto del valore assoluto ? E' la prima volta ...

[Cantor99]

In pratica devi fare

$f(1-sqrt(2))=|(1-sqrt(2))^2-2(1-sqrt(2)|=|3-2sqrt(2)-2+2sqrt(2)|=|1|=1$

$f(1+sqrt(2))=|(1+sqrt(2))^2-2(1+sqrt(2))|=|3+2sqrt(2)-2-2sqrt(2)|=|1|=1$

Quando valuti il valore di una funzione che presenta valori assoluto non devi temere: inserisci 'direttamente' il valore di $x$

[frollo1]

però in questo caso 1=1 quindi non dovrebbe essere applicabile ?

[Cantor99]

Scusami, Rolle richiede che nell'intervallo $[a,b]$ considerato $f(a)=f(b)$ e a noi
$f(1-sqrt(2))=1=f(1+sqrt(2))$

Restano da verificare la continuità in $[1-sqrt(2),1+sqrt(2)]$ e la derivabilità internamente