Teorema di Lagrange
Buonasera ragazzi,
complimenti per il forum
Gentilmente vi pongo una domanda semplice ma a cui non riesco a trovare soluzione,anzi due...
1) Come si fa a verificare il teorema di Lagrange di una funzione in un dato intervallo ?
so che si deve vedere la continuità in [a,b] e la derivabilità in (a,b)
quale è il procedimento standard ?
il primo punto da fare è quello di trovare il dominio della funzione, che nel mio caso è R
quini la continuità è assodata ma la derivabilità ?
2) $ ln ^4 x $ , quale è la sua derivata ?
complimenti per il forum
Gentilmente vi pongo una domanda semplice ma a cui non riesco a trovare soluzione,anzi due...
1) Come si fa a verificare il teorema di Lagrange di una funzione in un dato intervallo ?
so che si deve vedere la continuità in [a,b] e la derivabilità in (a,b)
quale è il procedimento standard ?
il primo punto da fare è quello di trovare il dominio della funzione, che nel mio caso è R
quini la continuità è assodata ma la derivabilità ?
2) $ ln ^4 x $ , quale è la sua derivata ?
Risposte
Trovata la derivata puoi trovare il suo dominio e vedere se è continua nell'intervallo dato, dopodiché puoi applicare Lagrange per trovare il punto cercato...per quanto riguarda il punto 2, la derivata è $4log^3x/x$
se per il punto 1) posti un esempio vediamo di aiutarti nello specifico
Grazie mille per l'aiuto, siete fantastici !!!
L'esercizio di Lagrange verte sull'intervallo [-20;30] e la funzione è
$ root(5)((10+x)^3 $
L'esercizio di Lagrange verte sull'intervallo [-20;30] e la funzione è
$ root(5)((10+x)^3 $
Il teorema è applicabile in questo intervallo per questa funzione?
"andar9896":
Trovata la derivata puoi trovare il suo dominio [...]
Bisognerebbe chiarire questo procedimento.
Ad esempio, proviamo ad applicarlo alla funzione:
\[
f(x) = \sqrt[3]{(x^2-1)^4}\; .
\]
Sia la funzione data che le sua derivata sono continue nello stesso intervallo $(-oo;-1] uu [1;+oo)$ quindi suppongo che ci sia bisogno di specificare dove applicare Lagrange.
Avevo sbagliato gli indici di radicale e potenza. 
Ok allora la funzione e la sua derivata sono continue in $mathbb(R) $ ... ora in che intervallo devo agire? 
"andar9896":
la funzione e la sua derivata sono continue in $mathbb(R) $...
E come lo sai?
La funzione $f(x)=root3((x^2-1)^4$ non presenta discontinuità in quando radice di indice dispari;
La sua derivata è $ 4/3(x^2-1)^(4/3-1)2x = 8/3 x root3(x^2-1) $ che mi sembra sempre definita.. dove sbaglio?
La sua derivata è $ 4/3(x^2-1)^(4/3-1)2x = 8/3 x root3(x^2-1) $ che mi sembra sempre definita.. dove sbaglio?
Pensavo una cosa...se le funzione la scrivo come $(x^2-1)root3((x^2-1))$ nella derivata mi trovo un denominatore che deve essere diverso da 1... ma posso modificare così la funzione?
Ecco, il problema è proprio quello... Se si deriva la funzione come potenza si arriva subito al risultato giusto, ma se si deriva la radice spunta fuori un denominatore che "rompe le scatole".
Insomma, la derivabilità di una funzione elementare si può e si deve stabilire "a priori", usando i fatti noti dalla teoria.
Il dominio della derivata può trarre in inganno.
Altro esempio: la funzione:
\[
f(x) := \begin{cases} x^2\sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0 \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
ha derivata in tutto \(\mathbb{R}\) (come si verifica facendo il limite del rapporto incrementale), ma la derivata ha una discontinuità di seconda specie in \(0\).
Tuttavia, derivando con poca attenzione si troverebbe:
\[
f^\prime (x) = 2x\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}\; ,
\]
definita solo in \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\).
P.S.: La manipolazione algebrica della funzione precedente è esatta.
Insomma, la derivabilità di una funzione elementare si può e si deve stabilire "a priori", usando i fatti noti dalla teoria.
Il dominio della derivata può trarre in inganno.
Altro esempio: la funzione:
\[
f(x) := \begin{cases} x^2\sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0 \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
ha derivata in tutto \(\mathbb{R}\) (come si verifica facendo il limite del rapporto incrementale), ma la derivata ha una discontinuità di seconda specie in \(0\).
Tuttavia, derivando con poca attenzione si troverebbe:
\[
f^\prime (x) = 2x\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}\; ,
\]
definita solo in \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\).
P.S.: La manipolazione algebrica della funzione precedente è esatta.
Capito grazie 
dunque per quanto riguarda l'esercizio di matematico2015, la funzione $root5((10+x)^3$ risulta continua in $[-20;30]$ ma la sua derivata presenta una discontinuità in $x=-10$...dunque non è possibile applicare il teorema.
dunque per quanto riguarda l'esercizio di matematico2015, la funzione $root5((10+x)^3$ risulta continua in $[-20;30]$ ma la sua derivata presenta una discontinuità in $x=-10$...dunque non è possibile applicare il teorema.
"andar9896":
Pensavo una cosa...se le funzione la scrivo come $ (x^2-1)root3((x^2-1)) $ nella derivata mi trovo un denominatore che deve essere diverso da 1... ma posso modificare così la funzione?
Forse è utile adottare la convenzione: se una funzione non è definita in un punto ma esiste finito il limite in quel punto la funzione è automaticamente pensata come prolungata con continuità. A questo punto il denominatore non da più fastidio. E anche cose del tipo $ x^2/x $ non danno problemi.
"luc.mm":
[quote="andar9896"]Pensavo una cosa...se le funzione la scrivo come $ (x^2-1)root3((x^2-1)) $ nella derivata mi trovo un denominatore che deve essere diverso da 1... ma posso modificare così la funzione?
Forse è utile adottare la convenzione: se una funzione non è definita in un punto ma esiste finito il limite in quel punto la funzione è automaticamente pensata come prolungata con continuità. A questo punto il denominatore non da più fastidio. E anche cose del tipo $ x^2/x $ non danno problemi.[/quote]
No, non è utile né corretto.
Vedi esempio già riportato:
"gugo82":
Altro esempio: la funzione:
\[ f(x) := \begin{cases} x^2\sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0 \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases} \]
ha derivata in tutto \( \mathbb{R} \) (come si verifica facendo il limite del rapporto incrementale), ma la derivata ha una discontinuità di seconda specie in \( 0 \).
Tuttavia, derivando con poca attenzione si troverebbe:
\[ f^\prime (x) = 2x\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}\; , \]
definita solo in \( \mathbb{R}\setminus \{0\} \).
"andar9896":
la funzione $root5((10+x)^3$ risulta continua in $[-20;30]$ ma la sua derivata presenta una discontinuità in $x=-10$
No.
La funzione assegnata non è derivabile internamente a \([-20,30]\); essa è derivabile[nota]Non considero, anche se si potrebbe, la derivata negli estremi.[/nota] in \(]-20,-10[\cup ]-10,30[\) e la derivata è continuissima in tale insieme.
"gugo82":
Vedi esempio già riportato:
Non capisco cosa intendi, in questo caso il limite della derivata infatti non esiste.
Per cui questo passaggio sarebbe illecito?
$ x^(3/2)=xsqrt(x) $
Quali sono le derivate delle due funzioni? Entrambe $ 3/2sqrt(x) $ o la seconda è $ sqrt(x)+x/(2sqrt(x)) $ non definita in zero?
Salve ragazzi, scusate se ora rispondo ma mi ero perso questa discussione :
Facciamo ordine e vi riporto cosa chiede l'esercizio data la funzione 10+x alla terza tutto sotto radice di indice cinque
verificare le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [-20;30]
Facciamo ordine e vi riporto cosa chiede l'esercizio data la funzione 10+x alla terza tutto sotto radice di indice cinque
verificare le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [-20;30]
La funzione, non è derivabile nel punto $x=-10$, che risulta essere interno all'intervallo $(-20,30)$, pertanto non sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema di lagrange, che non risulta cosi applicabile.
A parte l'ottima osservazione di francicko, propongo una piccola osservazione.
Seppure il teorema di Lagrange non è applicabile (non essendo soddisfatta l'ipotesi di derivabilità nell'interno dell'intervallo di definizione), esiste ugualmente un punto di Lagrange per \(f(x) = \sqrt[5]{(10+x)^3}\) in \(]-20,30[\), cioé esiste un punto \(\xi \in ]-20,30[\) per il quale risulta:
\[
f^\prime (\xi) = \frac{f(30) - f(-20)}{30-(-20)}\; .
\]
Invero, abbiamo:
\[
\begin{split}
\frac{f(30) - f(-20)}{30-(-20)} &= \frac{\sqrt[5]{40^3} + \sqrt[5]{10^3}}{50}\\
&= \frac{10^{3/5} \cdot (2\cdot \sqrt[5]{2} + 1 )}{5\cdot 10}\\
&= \frac{2\cdot \sqrt[5]{2} + 1}{5\cdot 10^{2/5}} >0
\end{split}
\]
e:
\[
f^\prime (x) = \frac{3}{5}\ (10+x)^{-\frac{2}{5}}
\]
cosicché l'equazione:
\[
\frac{3}{5 (10+x)^{2/5}} = \frac{2\cdot \sqrt[5]{2} + 1}{5\cdot 10^{2/5}}
\]
ha unica soluzione reale, data da:
\[
\xi = 10 \cdot \left( \sqrt{\left( \frac{3}{(2\cdot \sqrt[5]{2} + 1)^2}\right)^5} - 1 \right)\; ,
\]
e tale soluzione cade proprio in \(]-20,30[\) giacché \(\xi \approx -2,1046\).
Ciò non deve stupire, perché il teorema di Lagrange esprime una condizione sufficiente, la quale si guarda bene dall'essere pure necessaria, affinché sia possibile affermare l'esistenza dei punti di Lagrange.
Seppure il teorema di Lagrange non è applicabile (non essendo soddisfatta l'ipotesi di derivabilità nell'interno dell'intervallo di definizione), esiste ugualmente un punto di Lagrange per \(f(x) = \sqrt[5]{(10+x)^3}\) in \(]-20,30[\), cioé esiste un punto \(\xi \in ]-20,30[\) per il quale risulta:
\[
f^\prime (\xi) = \frac{f(30) - f(-20)}{30-(-20)}\; .
\]
Invero, abbiamo:
\[
\begin{split}
\frac{f(30) - f(-20)}{30-(-20)} &= \frac{\sqrt[5]{40^3} + \sqrt[5]{10^3}}{50}\\
&= \frac{10^{3/5} \cdot (2\cdot \sqrt[5]{2} + 1 )}{5\cdot 10}\\
&= \frac{2\cdot \sqrt[5]{2} + 1}{5\cdot 10^{2/5}} >0
\end{split}
\]
e:
\[
f^\prime (x) = \frac{3}{5}\ (10+x)^{-\frac{2}{5}}
\]
cosicché l'equazione:
\[
\frac{3}{5 (10+x)^{2/5}} = \frac{2\cdot \sqrt[5]{2} + 1}{5\cdot 10^{2/5}}
\]
ha unica soluzione reale, data da:
\[
\xi = 10 \cdot \left( \sqrt{\left( \frac{3}{(2\cdot \sqrt[5]{2} + 1)^2}\right)^5} - 1 \right)\; ,
\]
e tale soluzione cade proprio in \(]-20,30[\) giacché \(\xi \approx -2,1046\).
Ciò non deve stupire, perché il teorema di Lagrange esprime una condizione sufficiente, la quale si guarda bene dall'essere pure necessaria, affinché sia possibile affermare l'esistenza dei punti di Lagrange.
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