Teorema di Lagrange
Buonasera ragazzi,
complimenti per il forum
Gentilmente vi pongo una domanda semplice ma a cui non riesco a trovare soluzione,anzi due...
1) Come si fa a verificare il teorema di Lagrange di una funzione in un dato intervallo ?
so che si deve vedere la continuità in [a,b] e la derivabilità in (a,b)
quale è il procedimento standard ?
il primo punto da fare è quello di trovare il dominio della funzione, che nel mio caso è R
quini la continuità è assodata ma la derivabilità ?
2) $ ln ^4 x $ , quale è la sua derivata ?
complimenti per il forum
Gentilmente vi pongo una domanda semplice ma a cui non riesco a trovare soluzione,anzi due...
1) Come si fa a verificare il teorema di Lagrange di una funzione in un dato intervallo ?
so che si deve vedere la continuità in [a,b] e la derivabilità in (a,b)
quale è il procedimento standard ?
il primo punto da fare è quello di trovare il dominio della funzione, che nel mio caso è R
quini la continuità è assodata ma la derivabilità ?
2) $ ln ^4 x $ , quale è la sua derivata ?
Risposte
Supponiamo di avere una funzione $f (x)$, continua e derivabile
in $(a,b)$, eccetto che nel punto $c $, interno all'intervallo $(a,b)$, inoltre tale funzione ha il valore massimo in $c$, ed sia a destra che a sinistra del punto $c$ si mantiene sempre concava (convessa), con queste condizioni, posso asserire che non esiste nessun punto interno all'intervallo $(a,b)$, tale che risulti
$(f (a)-f (b))/(b-a)=f'(phi)$, con $phi $ $in (a,b)$?
Io direi di si, spero che la domanda sia sensata.
in $(a,b)$, eccetto che nel punto $c $, interno all'intervallo $(a,b)$, inoltre tale funzione ha il valore massimo in $c$, ed sia a destra che a sinistra del punto $c$ si mantiene sempre concava (convessa), con queste condizioni, posso asserire che non esiste nessun punto interno all'intervallo $(a,b)$, tale che risulti
$(f (a)-f (b))/(b-a)=f'(phi)$, con $phi $ $in (a,b)$?
Io direi di si, spero che la domanda sia sensata.
No.
Esempio:
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-1; ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("(x-1)^2",0,1.5); plot("(x+1)^2",-1.5,0);[/asvg]
che ha due punti di Lagrange.
Esempio:
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-1; ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("(x-1)^2",0,1.5); plot("(x+1)^2",-1.5,0);[/asvg]
che ha due punti di Lagrange.
Molte grazie per la risposta!
Rilancio, e se aggiungo oltre alla condizione concava (convessa)
anche la condizione crescente (decrescente), cambia qualcosa?
risulterebbe vero?
Rilancio, e se aggiungo oltre alla condizione concava (convessa)
anche la condizione crescente (decrescente), cambia qualcosa?
risulterebbe vero?
No.
Esempio:
\[
f(x) := (1-|x|)^2 +2x\; ,
\]
con \(x\in [-2,2]\).
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-5; ymax=7;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("(x-1)^2+2x",0,2); plot("(x+1)^2+2x",-2,0);[/asvg]
che ha due punti di Lagrange.
Esempio:
\[
f(x) := (1-|x|)^2 +2x\; ,
\]
con \(x\in [-2,2]\).
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-5; ymax=7;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("(x-1)^2+2x",0,2); plot("(x+1)^2+2x",-2,0);[/asvg]
che ha due punti di Lagrange.
Grazie sempre per le risposte, molto interessanti!
Nell' ultimo caso che hai riportato, però non capisco una cosa, nel punto $c$, la funzione non ha il valore massimo , relativo all'intervallo $(a,b)$, o mi sbaglio?
;
Ripropongo inoltre la domanda in un altra forma ancora:
Supponiamo di avere una funzione $f(x)$ continua e derivabile in $(a,b)$, eccetto che nel punto $c$ interno all'intervallo $a,b$, inoltre tale funzione relativamente sempre all'intervallo $(a.b)$ ha il suo valore massimo proprio in $c$, ed sia a destra che a sinistra del punto $c$ si mantiene sempre concava(convessa), inoltre è sempre crescente(decrescente) a sinistra del punto $c$, ed decrescente(crescente) a destra di tale punto, con queste condizioni posso asserire che non esiste alcun punto interno all'intervallo $(a,b)$ tale che risulti $(f(b)-f(a))/((b-a))=f'(phi)$ con $phi$ $in(a,b)$?
Saluti!
Nell' ultimo caso che hai riportato, però non capisco una cosa, nel punto $c$, la funzione non ha il valore massimo , relativo all'intervallo $(a,b)$, o mi sbaglio?
;Ripropongo inoltre la domanda in un altra forma ancora:
Supponiamo di avere una funzione $f(x)$ continua e derivabile in $(a,b)$, eccetto che nel punto $c$ interno all'intervallo $a,b$, inoltre tale funzione relativamente sempre all'intervallo $(a.b)$ ha il suo valore massimo proprio in $c$, ed sia a destra che a sinistra del punto $c$ si mantiene sempre concava(convessa), inoltre è sempre crescente(decrescente) a sinistra del punto $c$, ed decrescente(crescente) a destra di tale punto, con queste condizioni posso asserire che non esiste alcun punto interno all'intervallo $(a,b)$ tale che risulti $(f(b)-f(a))/((b-a))=f'(phi)$ con $phi$ $in(a,b)$?
Saluti!
Hai ragione, mi ero perso di vista il massimo in \(c\)...
Comunque si può fare.
Prendiamo:
\[
f(x) := \begin{cases} 0 & \text{, se } -2\leq x\leq -1\\
a e^{-1/(x+1)} &\text{, se } -1
\end{cases}
\]
con \(a,\varepsilon >0\) da fissare opportunamente.
La funzione proposta ha un andamento di questo tipo:
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=0; ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-2,0],[-1,0]); plot("5*exp(-1/(x+1))",-1,0); plot("5*exp(-1) - 0.1*x",0,2);[/asvg]
La \(f\) è derivabile ovunque tranne che in \(0\), con derivata (continua in \(-1\)):
\[
f^\prime (x) = \begin{cases} 0 & \text{, se } -2< x\leq -1\\
\frac{a}{(x+1)^2} e^{-1/(x+1)} &\text{, se } -1
\end{cases}
\]
Il rapporto incrementale agli estremi è:
\[
\frac{f(2) - f(-2)}{2-(-2)} = \frac{\frac{a}{e}-2\varepsilon}{4} = \frac{a+2e\varepsilon}{4e}=:R(a,\varepsilon)
\]
e la funzione \(\frac{a}{(x+1)^2} e^{-1/(x+1)}\) ha un grafico del tipo:
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-1; ymax=3;
axes("");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; plot("5*exp(-1/(x+1))*(x+1)^(-2)",-1,0);[/asvg]
con l'ordinata del massimo dipendente da \(a\) uguale a:
\[
M(a) := \frac{4a}{e^2}\; ,
\]
e minimo uguale a zero.
Scegliendo "bene" \(a\) e \(\varepsilon\) possiamo fare in modo che:
\[
M(a) > R(a,\varepsilon)>0\; .
\]
Per il teorema dei valori intermedi esiste allora un punto di Lagrange in \(]-1,0[\subset ]-2,2[\).
P.S.: Ad ogni modo, giocare a questo gioco è più istruttivo per i ragazzi che devono farsi le ossa.
Quindi consiglio di cominciare a crearti da te i controesempi per le tue congetture.
Comunque si può fare.
Prendiamo:
\[
f(x) := \begin{cases} 0 & \text{, se } -2\leq x\leq -1\\
a e^{-1/(x+1)} &\text{, se } -1
\end{cases}
\]
con \(a,\varepsilon >0\) da fissare opportunamente.
La funzione proposta ha un andamento di questo tipo:
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=0; ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-2,0],[-1,0]); plot("5*exp(-1/(x+1))",-1,0); plot("5*exp(-1) - 0.1*x",0,2);[/asvg]
La \(f\) è derivabile ovunque tranne che in \(0\), con derivata (continua in \(-1\)):
\[
f^\prime (x) = \begin{cases} 0 & \text{, se } -2< x\leq -1\\
\frac{a}{(x+1)^2} e^{-1/(x+1)} &\text{, se } -1
\end{cases}
\]
Il rapporto incrementale agli estremi è:
\[
\frac{f(2) - f(-2)}{2-(-2)} = \frac{\frac{a}{e}-2\varepsilon}{4} = \frac{a+2e\varepsilon}{4e}=:R(a,\varepsilon)
\]
e la funzione \(\frac{a}{(x+1)^2} e^{-1/(x+1)}\) ha un grafico del tipo:
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-1; ymax=3;
axes("");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; plot("5*exp(-1/(x+1))*(x+1)^(-2)",-1,0);[/asvg]
con l'ordinata del massimo dipendente da \(a\) uguale a:
\[
M(a) := \frac{4a}{e^2}\; ,
\]
e minimo uguale a zero.
Scegliendo "bene" \(a\) e \(\varepsilon\) possiamo fare in modo che:
\[
M(a) > R(a,\varepsilon)>0\; .
\]
Per il teorema dei valori intermedi esiste allora un punto di Lagrange in \(]-1,0[\subset ]-2,2[\).
P.S.: Ad ogni modo, giocare a questo gioco è più istruttivo per i ragazzi che devono farsi le ossa.
Quindi consiglio di cominciare a crearti da te i controesempi per le tue congetture.
Grazie per le risposte e per la pazienza!
Volevo chiedere un ultima cosa, se possibile, prima di chiudere la discussione sull'argomento, un ultima domanda:
se aggiungo alle gia citate condizioni nell'ultimo post, la condizione strettamente crescente (decrescente) a sinistra del punto $c$, ed strettamente decrescente (crescente) a destra di tale punto, l'asserto risulterebbe valido, o e' possibile anche in questo caso trovare un contro esempio?
Saluti!
Volevo chiedere un ultima cosa, se possibile, prima di chiudere la discussione sull'argomento, un ultima domanda:
se aggiungo alle gia citate condizioni nell'ultimo post, la condizione strettamente crescente (decrescente) a sinistra del punto $c$, ed strettamente decrescente (crescente) a destra di tale punto, l'asserto risulterebbe valido, o e' possibile anche in questo caso trovare un contro esempio?
Saluti!
"gugo82":
P.S.: Ad ogni modo, giocare a questo gioco è più istruttivo per i ragazzi che devono farsi le ossa.
Quindi consiglio di cominciare a crearti da te i controesempi per le tue congetture.
Ciao,grazie
Bene, ma come imposto l'esercizio ?
come hai fatto a trovare il punto NON derivabile ?
Bene, ma come imposto l'esercizio ?
come hai fatto a trovare il punto NON derivabile ?
Quali proprietà di derivabilità hanno le funzioni elementari coinvolte nella legge di assegnazione di \(f\)?
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