Teorema di Hermite-Liouville
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per la dimostrazione del teorema contenuto nella seguente pagina di Wikipedia:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Liouville_(analisi_complessa)
in particolare mi interessa capire perchè $|a_n|<=|1/(2pi) oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1) d zeta|$ (e non $|a_n|=|1/(2pi) oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1) d zeta|$).
volevo chiedervi una mano per la dimostrazione del teorema contenuto nella seguente pagina di Wikipedia:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Liouville_(analisi_complessa)
in particolare mi interessa capire perchè $|a_n|<=|1/(2pi) oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1) d zeta|$ (e non $|a_n|=|1/(2pi) oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1) d zeta|$).
Risposte
La stessa pagina ma di wiki inglese
http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville% ... x_analysis)
fornisce una dimostrazione in cui non c'è questo problema.
[Nota: il link giusto prevede anche l'ultima parentesi tonda che non mi prende... mah]
La mia opinione è questa
$|a_n|=|1/(2pi) oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1) d zeta|\le 1/(2pi) oint_(C_R) |f(zeta)/(zeta)^(n+1)| |d zeta|$
come è giusto che sia e come lascia intendere la wiki inglese.
Per me è una svista di chi ha scritto/tradotto quella italiana: poi aspetta altri pareri (se ci saranno).
http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville% ... x_analysis)
fornisce una dimostrazione in cui non c'è questo problema.
[Nota: il link giusto prevede anche l'ultima parentesi tonda che non mi prende... mah]
La mia opinione è questa
"Sirio1988":
$ |a_n|<=|1/(2pi) oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1) d zeta| $ (e non $ |a_n|=|1/(2pi) oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1) d zeta| $).
$|a_n|=|1/(2pi) oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1) d zeta|\le 1/(2pi) oint_(C_R) |f(zeta)/(zeta)^(n+1)| |d zeta|$
come è giusto che sia e come lascia intendere la wiki inglese.
Per me è una svista di chi ha scritto/tradotto quella italiana: poi aspetta altri pareri (se ci saranno).
Sul mio testo di riferimento ho trovato il seguente passaggio:
$|a_n|<=1/(2pi)|oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1)d zeta|$
Anche ammettendo che $|a_n|=|1/(2pi i)oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1)d zeta|$ si avrebbe allora che
$|a_n|=1/(2pi)|1/i oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1)d zeta|$ e di conseguenza
$|1/i oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1)d zeta|<=|oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1)d zeta|$
Mi sapreste spiegare perchè?
$|a_n|<=1/(2pi)|oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1)d zeta|$
Anche ammettendo che $|a_n|=|1/(2pi i)oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1)d zeta|$ si avrebbe allora che
$|a_n|=1/(2pi)|1/i oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1)d zeta|$ e di conseguenza
$|1/i oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1)d zeta|<=|oint_(C_R) f(zeta)/(zeta)^(n+1)d zeta|$
Mi sapreste spiegare perchè?
Mi sembra strano che non sia intervenuto nessuno - tra l'altro m'hai fatto prendere uno spaghetto con il bump perché ha modificato data e ora del mio intervento (tornando su matematicamente ero così 
con pensieri tipo "chi è entrato nel mio account?") -, che abbia ragione io?
Tralasciando questo
$1/i=-i$
e quindi (non riscrivo tutto l'integrale, lascio i puntini)
$|1/i \cdot ...|= |1/i| \cdot |...|= |-i| \cdot |...|= |...|$
poiché $|-i|=1$, dunque il $\le$ è una forzatura. Non che non valga, per carità.
Per il resto continuo a pensarla come prima, per questo non ho risposto più: questo almeno fino a che non rimetto mano sui miei appunti di analisi complessa.
con pensieri tipo "chi è entrato nel mio account?") -, che abbia ragione io?Tralasciando questo
$1/i=-i$
e quindi (non riscrivo tutto l'integrale, lascio i puntini)
$|1/i \cdot ...|= |1/i| \cdot |...|= |-i| \cdot |...|= |...|$
poiché $|-i|=1$, dunque il $\le$ è una forzatura. Non che non valga, per carità.
Per il resto continuo a pensarla come prima, per questo non ho risposto più: questo almeno fino a che non rimetto mano sui miei appunti di analisi complessa.
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