Teorema di Heine Pincherle Borel

[Spook]

Cosa dice realmente questo teorema?

1)Un sottoinsieme X di R^k è compatto se e solo se da ogni successione di elementi di X si può estrarre una successione convergente il cui limite è in X (quindi sequenzialmente compatto).
2)Ogni compatto è chiuso e limitato.
3)...quella coi riprimenti....

Oppure tutte e tre sono equivalenti?

[Ale_112]

Citando dal Rudin: Def. Un sottoinsieme K di uno spazio metrico X si dice compatto se ogni ricoprimento aperto di K contiene un sottoricoprimento finito.
Teorema di Henine-Borel: Un sottoinsieme E di R^k è compatto sse è chiuso e limitato.
Sul concetto di compattezza per sequenze non so dirti nulla, mi spiace

[j18eos]

Tutto corretto Spook, ovvero: le tre affermazioni sono equivalenti in [tex]\mathbb{R}^n[/tex] con la topologia naturale!

P.S.: La versione completa del nome del teorema è Borel-Heine-Lebesgue-Pincherle!