Teorema di Heine Cantor
Ciao a tutti,
in questi giorni mi sto massacrando con il Dolcher di analisi matematica... Ho un problema con il teorema di Heine il cui enunciato è:
Ogni funzione continua definita su un insieme chiuso e limitato è uniformemente continua.
Vorrei sapere come faccio a dimostrarlo senza ricorrere alle successioni e alla loro convergenza.
Purtroppo quando ho fotocopiato questo capitolo ho saltato la pagina della dimostrazione e ora non so come fare
in questi giorni mi sto massacrando con il Dolcher di analisi matematica... Ho un problema con il teorema di Heine il cui enunciato è:
Ogni funzione continua definita su un insieme chiuso e limitato è uniformemente continua.
Vorrei sapere come faccio a dimostrarlo senza ricorrere alle successioni e alla loro convergenza.
Purtroppo quando ho fotocopiato questo capitolo ho saltato la pagina della dimostrazione e ora non so come fare
Risposte
Ciao. quella del tuo libro è una dimostrazione che sfrutta la compattezza per successioni.
Si può dimostrare anche sfruttando la compattezza per insiemi:
un insieme $Asub \RR^n$ è compatto se ogni copertura aperta di $A$ ammette una sottocopertura finita.
In questo caso, dire che un insieme $Asub \RR$ è chiuso e limitato è come dire che $A$ è compatto.
Partendo dalla definizione di uniforme continuità dobbiamo verificare che $AA \epsilon >0$ $EE \eta(x,\epsilon)$ per cui fissato $\bar x in A$ si abbia $|f(x)-f(\bar x)| < \epsilon$ quando $x in A$ e $0<=|x- \bar x|<\eta(\bar x, \epsilon)$.
Siano
$A(\bar x) = {x in A : |x - \barx| < \eta (\barx, (\epsilon)/2)}$
$B(\bar x) = {x in A : |x - \barx| < 1/2 \eta (\barx, (\epsilon)/2)}$
due bocce aperte di centro $\barx$ in $A$
è $B(\bar x) sub A(\bar x)$ e $AA x in A(\bar x)$ risulta $|f(x)-f(\bar x)|< (\epsilon)/2$
Sia
$B(\bar x) = B^\circ(\bar x, 1/2 \eta(\bar x, (\epsilon)/2) nn A$, con $B^\circ(\bar x, 1/2 \eta(\bar x, (\epsilon)/2)$ boccia aperta di centro $\bar x$ e raggio $1/2 \eta( \bar x(\epsilon)/2)$, risulta $B(\bar x)$ aperto relativamente ad $A$.
Le bocce $B(\bar x)$, al variare di $\barx$ in $A$, rappresentano una copertura di $A$ costituita da insiemi aperti intersecati con $A$, cioè relativamente ad $A$ e, di conseguenza, essendo $A$ compatto, esiste una sottocopertura finita data dagli insiemi aperti, per esempio $B(x_1)$,$B(x_2)$,$...,B(x_n)$ relativamente ad $A$.
Poniamo $\delta(\epsilon)=1/2 min {\eta (x_1, (\epsilon)/2),...,\eta (x_n, (\epsilon)/2)}$ e facciamo vedere che $AA x, x' in A$ con $|x-x'|<\delta(\epsilon)$ risulta $|f(x)-f(x')|< \epsilon$.
Presi due punti $x,x'$ di $A$, con $|x-x'|<\delta(\epsilon)$, il punto $x$ apparterrà ad uno dei $B(x_i)$, con $i=1,2,...,n$ e denotiamo questo con $B(x_j)$.
Poichè $|x-x'|<\delta(\epsilon) <=1/2 \eta(x_j,(\epsilon)/2)$, il punto $x'$ apparterrà ad $A(x_j)$ dato che:
$|x'-x_j|=|x'-x+x-x_j|<=|x'-x|+|x-x_j|<= 1/2 \eta(x_j, (\epsilon)/2)$$ + 1/2 \eta(x_j, (\epsilon)/2)$$ = \eta(x_j, (\epsilon)/2)$
$x$ e $x'$ appartengono ad $A(x_j)$ dunque risulta $|f(x) - f(x_j)|< (\epsilon)/2$, $|f(x_j) - f(x')|< (\epsilon)/2$, quindi con analoghi passaggi si conclude che $|f(x)-f(x')|< \epsilon$ e il teorema è dimostrato.
Si può dimostrare anche sfruttando la compattezza per insiemi:
un insieme $Asub \RR^n$ è compatto se ogni copertura aperta di $A$ ammette una sottocopertura finita.
In questo caso, dire che un insieme $Asub \RR$ è chiuso e limitato è come dire che $A$ è compatto.
Partendo dalla definizione di uniforme continuità dobbiamo verificare che $AA \epsilon >0$ $EE \eta(x,\epsilon)$ per cui fissato $\bar x in A$ si abbia $|f(x)-f(\bar x)| < \epsilon$ quando $x in A$ e $0<=|x- \bar x|<\eta(\bar x, \epsilon)$.
Siano
$A(\bar x) = {x in A : |x - \barx| < \eta (\barx, (\epsilon)/2)}$
$B(\bar x) = {x in A : |x - \barx| < 1/2 \eta (\barx, (\epsilon)/2)}$
due bocce aperte di centro $\barx$ in $A$
è $B(\bar x) sub A(\bar x)$ e $AA x in A(\bar x)$ risulta $|f(x)-f(\bar x)|< (\epsilon)/2$
Sia
$B(\bar x) = B^\circ(\bar x, 1/2 \eta(\bar x, (\epsilon)/2) nn A$, con $B^\circ(\bar x, 1/2 \eta(\bar x, (\epsilon)/2)$ boccia aperta di centro $\bar x$ e raggio $1/2 \eta( \bar x(\epsilon)/2)$, risulta $B(\bar x)$ aperto relativamente ad $A$.
Le bocce $B(\bar x)$, al variare di $\barx$ in $A$, rappresentano una copertura di $A$ costituita da insiemi aperti intersecati con $A$, cioè relativamente ad $A$ e, di conseguenza, essendo $A$ compatto, esiste una sottocopertura finita data dagli insiemi aperti, per esempio $B(x_1)$,$B(x_2)$,$...,B(x_n)$ relativamente ad $A$.
Poniamo $\delta(\epsilon)=1/2 min {\eta (x_1, (\epsilon)/2),...,\eta (x_n, (\epsilon)/2)}$ e facciamo vedere che $AA x, x' in A$ con $|x-x'|<\delta(\epsilon)$ risulta $|f(x)-f(x')|< \epsilon$.
Presi due punti $x,x'$ di $A$, con $|x-x'|<\delta(\epsilon)$, il punto $x$ apparterrà ad uno dei $B(x_i)$, con $i=1,2,...,n$ e denotiamo questo con $B(x_j)$.
Poichè $|x-x'|<\delta(\epsilon) <=1/2 \eta(x_j,(\epsilon)/2)$, il punto $x'$ apparterrà ad $A(x_j)$ dato che:
$|x'-x_j|=|x'-x+x-x_j|<=|x'-x|+|x-x_j|<= 1/2 \eta(x_j, (\epsilon)/2)$$ + 1/2 \eta(x_j, (\epsilon)/2)$$ = \eta(x_j, (\epsilon)/2)$
$x$ e $x'$ appartengono ad $A(x_j)$ dunque risulta $|f(x) - f(x_j)|< (\epsilon)/2$, $|f(x_j) - f(x')|< (\epsilon)/2$, quindi con analoghi passaggi si conclude che $|f(x)-f(x')|< \epsilon$ e il teorema è dimostrato.
Non mi torna molto la tua definizione di uniforme continuità... perchè fai dipendere $\eta$ anche dal punto? E' proprio il fatto che $\eta$ deve dipendere solo da $\epsilon$ che afferma l'"uniforme" continuità...
Credo che sia un difetto solo formale, infatti in questa dimostrazione (che si trova sul Vinti), si parte dall'ipotesi che $\bar x$ sia arbitrario, dunque lo posso cambiare come voglio. Forse il libro fa "dipendere" $\eta$ anche da $\bar x$ per ricordare che quello specifico $\eta$ è riferito al punto $\bar x$ appartenente al dominio della funzione. Penso sia così perchè, nella parte riguardante le definizioni il $\delta$ (o l'$\eta$) lo fa dipendere, come dici tu, solo da $\epsilon$.