Teorema di Guldino
Ciao ragazzi 
Guardando un esercizio svolto mi è venuto un dubbio! Ho sempre calcolato l'area di un solido di rotazione con la formula:
$ Vol(S)=2π \int int y dxdy $ dove il dominio di integrazione è l'area della figura piana che ruota intorno all'asse z e l'integrale corrisponde praticamente alla coordinata del baricentro della figura.
Invece svolgendo un esercizio ho visto che usando la formula non ottengo il risultato giusto.
L'esercizio chiede il volume del solido di rotazione ottenuto della figura piana racchiusa dalle curve $ x=1, y=1/x$ e $ y=2/x^2 $ e a me risulta $ 4/6π $, quando il risultato proposto è $ π/6 $.
Guardando un esercizio svolto mi è venuto un dubbio! Ho sempre calcolato l'area di un solido di rotazione con la formula:
$ Vol(S)=2π \int int y dxdy $ dove il dominio di integrazione è l'area della figura piana che ruota intorno all'asse z e l'integrale corrisponde praticamente alla coordinata del baricentro della figura.
Invece svolgendo un esercizio ho visto che usando la formula non ottengo il risultato giusto.
L'esercizio chiede il volume del solido di rotazione ottenuto della figura piana racchiusa dalle curve $ x=1, y=1/x$ e $ y=2/x^2 $ e a me risulta $ 4/6π $, quando il risultato proposto è $ π/6 $.
Risposte
Ciao manuelaci,
Mi concentro sul testo dell'esercizio proposto, dal quale non si capisce se la rotazione della figura piana è intorno all'asse $x$ o intorno all'asse $y $. Di $z $ onestamente non ne vedo...
Supponendo che la rotazione avvenga intorno all'asse $x$ ed osservando che le funzioni proposte sono tutte positive e si intersecano in $x = 1 $ e $x = 2 $ nella zona di interesse, se non erro si ha:
$V_x = \pi \int_1^2 [(2/x^2)^2 - (1/x)^2] dx = \pi \int_1^2 [4/x^4 - 1/x^2] dx = \pi [-4/(3x^3) + 1/x]_1^2 = $
$ = \pi [-4/24 + 1/2 + 4/3 - 1] = \pi [4/3 - 1/6 -1/2] = \frac{2\pi}{3} $
Se invece la rotazione è intorno all'asse $y$ allora si ha:
$ V_y = 2\pi \int_1^2 x(2/x^2 - 1/x) dx = 2\pi int_1^2 (2/x - 1) dx = 2\pi [2 ln(x) - x]_1^2 = $
$ = 2\pi [2 ln(2) - 2 - 2 ln(1) + 1] = 2\pi [2 ln(2) - 1] $
Mi concentro sul testo dell'esercizio proposto, dal quale non si capisce se la rotazione della figura piana è intorno all'asse $x$ o intorno all'asse $y $. Di $z $ onestamente non ne vedo...
Supponendo che la rotazione avvenga intorno all'asse $x$ ed osservando che le funzioni proposte sono tutte positive e si intersecano in $x = 1 $ e $x = 2 $ nella zona di interesse, se non erro si ha:
$V_x = \pi \int_1^2 [(2/x^2)^2 - (1/x)^2] dx = \pi \int_1^2 [4/x^4 - 1/x^2] dx = \pi [-4/(3x^3) + 1/x]_1^2 = $
$ = \pi [-4/24 + 1/2 + 4/3 - 1] = \pi [4/3 - 1/6 -1/2] = \frac{2\pi}{3} $
Se invece la rotazione è intorno all'asse $y$ allora si ha:
$ V_y = 2\pi \int_1^2 x(2/x^2 - 1/x) dx = 2\pi int_1^2 (2/x - 1) dx = 2\pi [2 ln(x) - x]_1^2 = $
$ = 2\pi [2 ln(2) - 2 - 2 ln(1) + 1] = 2\pi [2 ln(2) - 1] $
Scusami, era intorno all'asse x 
Grazie mille, allora ho ottenuto il risultato corretto
Grazie mille, allora ho ottenuto il risultato corretto
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