Teorema di Gauss
Salve a tutti, volevo chiedere un vostro aiuto sulla applicabilità del teorema di Gauss in un caso particolare:
In pratica il mio dominio $D$ è tutto lo spazio $R^3$ privato della sfera di superficie $S_1$ e di raggio $r_1$ con centro nell'origine degli assi.
Data quindi una sfera di superficie $S_2$ con centro nell'origine degli assi e raggio $r_2>r_1$, volevo sapere se è possibile scrivere :
$ int int_(S_2)^() vec(n) \cdot vec(F) dS $ = $ int int int_(V)^() grad \cdot vec(F) dV $
dove $vec(F)$ rappresenta un generico campo vettoriale definito nel dominio $D$, mentre $V$ rappresenta il volume racchiuso tra la sfera di raggio $r_2$ e $r_1$.
L'uguaglianza che ho scritto è corretta, oppure l'integrale di volume é uguale alla somma dell'integrale di superficie sulla sfera $S_1$ e $S_2$:
$ int int_(S_2)^() vec(n) \cdot vec(F) dS + int int_(S_1)^() vec(n) \cdot vec(F) dS $ = $ int int int_(V)^() grad \cdot vec(F) dV $
con $V$ sempre uguale al volume racchiuso tra le due sfere?
In pratica il mio dominio $D$ è tutto lo spazio $R^3$ privato della sfera di superficie $S_1$ e di raggio $r_1$ con centro nell'origine degli assi.
Data quindi una sfera di superficie $S_2$ con centro nell'origine degli assi e raggio $r_2>r_1$, volevo sapere se è possibile scrivere :
$ int int_(S_2)^() vec(n) \cdot vec(F) dS $ = $ int int int_(V)^() grad \cdot vec(F) dV $
dove $vec(F)$ rappresenta un generico campo vettoriale definito nel dominio $D$, mentre $V$ rappresenta il volume racchiuso tra la sfera di raggio $r_2$ e $r_1$.
L'uguaglianza che ho scritto è corretta, oppure l'integrale di volume é uguale alla somma dell'integrale di superficie sulla sfera $S_1$ e $S_2$:
$ int int_(S_2)^() vec(n) \cdot vec(F) dS + int int_(S_1)^() vec(n) \cdot vec(F) dS $ = $ int int int_(V)^() grad \cdot vec(F) dV $
con $V$ sempre uguale al volume racchiuso tra le due sfere?
Risposte
Se $V$ è il volume racchiuso tra le sfere, vale qualcosa di simile alla seconda espressione, tenendo però conto che $\hat{n}$ è il versore uscente dal volume, quindi secondo come lo definisci nella formula potresti dover cambiare il segno del secondo integrale. La prima eguaglianza non può avere valore generale: è sicuramente valida su $S_2$ e su tutto il volume racchiuso, ma se a questo sottrai $S_1$ mantenendo la definizione di $F$, il flusso rimane invariato ma l'integrale della divergenza su $V$ no.
Ciao , ti ringrazio per la risposta 
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