Teorema di Fubini
Salve a tutti,
vorrei chiedervi una mano riguardo il teorema di Fubini. Ecco l'enunciato che ho trovato sul mio libro.
Sia f una funzione sommabile in $RR^n text(x) RR^m$.
Allora:
1)La funzione $x mapsto f(x,y)$ è sommabile in $RR^n$ per quasi ogni y in $RR^m$
2)la funzione $y mapsto int_{RR^n}f(x,y)dx$ è sommabile in $RR^m$ e risulta
$int_{RR^n text(x) RR^m}f(x,y)dxdy=int_{RR^m}(int_{RR^n}f(x,y)dx)dy$.
Cosa sono le funzioni $x mapsto f(x,y)$ e $y mapsto int_{RR^n}f(x,y)dx$?
vorrei chiedervi una mano riguardo il teorema di Fubini. Ecco l'enunciato che ho trovato sul mio libro.
Sia f una funzione sommabile in $RR^n text(x) RR^m$.
Allora:
1)La funzione $x mapsto f(x,y)$ è sommabile in $RR^n$ per quasi ogni y in $RR^m$
2)la funzione $y mapsto int_{RR^n}f(x,y)dx$ è sommabile in $RR^m$ e risulta
$int_{RR^n text(x) RR^m}f(x,y)dxdy=int_{RR^m}(int_{RR^n}f(x,y)dx)dy$.
Cosa sono le funzioni $x mapsto f(x,y)$ e $y mapsto int_{RR^n}f(x,y)dx$?
Risposte
La funzione \(x\mapsto f(x,y)\) è la funzione "parziale" \(\phi_y:\mathbb{R}^N\ni x\mapsto f(x,y)\in \mathbb{R}\) che si ottiene da \(f\) fissando la seconda variabile.
Invece, la funzione \(y\mapsto \int_{\mathbb{R}^N} f(x,y)\ \text{d} x\) è la funzione \(\Phi:\mathbb{R}^M\ni y\mapsto \int_{\mathbb{R}^N} \phi_y(x)\ \text{d} x \in \mathbb{R}\) (che ad ogni \(y\) associa il valore dell'integrale della funzione \(\phi_y\)).
Ad esempio, sia \(f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) definita da \(f(x,y):=e^{-|xy|}\).
Per ogni fissato \(y\) è \(\phi_y(x):= e^{|y|}\ e^{-|x|}\), mentre:
\[
\Phi (y) = \int_{-\infty}^\infty e^{|y|}\ e^{-|x|}\ \text{d} x = 2\ e^{|y|}\ \int_0^\infty e^{-x}\ \text{d} x = 2\ e^{-|y|}\; .
\]
Invece, la funzione \(y\mapsto \int_{\mathbb{R}^N} f(x,y)\ \text{d} x\) è la funzione \(\Phi:\mathbb{R}^M\ni y\mapsto \int_{\mathbb{R}^N} \phi_y(x)\ \text{d} x \in \mathbb{R}\) (che ad ogni \(y\) associa il valore dell'integrale della funzione \(\phi_y\)).
Ad esempio, sia \(f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) definita da \(f(x,y):=e^{-|xy|}\).
Per ogni fissato \(y\) è \(\phi_y(x):= e^{|y|}\ e^{-|x|}\), mentre:
\[
\Phi (y) = \int_{-\infty}^\infty e^{|y|}\ e^{-|x|}\ \text{d} x = 2\ e^{|y|}\ \int_0^\infty e^{-x}\ \text{d} x = 2\ e^{-|y|}\; .
\]
Perfetto. Un'ultima cosa, mi potresti spiegare cosa significa il simbolo $mapsto$?
Ma questa notazione per le funzioni non l'hai mai incontrata? Eppure è d'uso comunissimo...
Il simbolo \(x\mapsto y\) vuol dire "manda \(x\) in \(y\)", e si usa per denotare la legge di assegnazione di una funzione.
Il simbolo \(x\mapsto y\) vuol dire "manda \(x\) in \(y\)", e si usa per denotare la legge di assegnazione di una funzione.
Purtroppo era la prima volta che la incontravo. Comunque grazie. Ora è tutto chiaro.
"Sirio1988":
Salve a tutti,
vorrei chiedervi una mano riguardo il teorema di Fubini. Ecco l'enunciato che ho trovato sul mio libro.
Sia f una funzione sommabile in $RR^n text(x) RR^m$.
Allora:
1)La funzione $x mapsto f(x,y)$ è sommabile in $RR^n$ per quasi ogni y in $RR^m$
2)la funzione $y mapsto int_{RR^n}f(x,y)dx$ è sommabile in $RR^m$ e risulta
$int_{RR^n text(x) RR^m}f(x,y)dxdy=int_{RR^m}(int_{RR^n}f(x,y)dx)dy$.
Cosa sono le funzioni $x mapsto f(x,y)$ e $y mapsto int_{RR^n}f(x,y)dx$?
Ciao, non mi è del tutto chiara la simbologia usata nei punti 1 e 2 del teorema di Fubini. Cosa vuol dire funzione parziale? Potreste per favore spiegarmi con altre parole?
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