Teorema di fermat_punti stazionari
volevo chiedere alcuni chiarimenti in merito a questo teorema. in realtà ho capito cosa vuole dire, ma non capisco alcune cose di come è dimostrato sul libro da cui devo studiare. vi scrivo cosa c'è scritto, io non l'ho mai letto così(ma così sì: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... stazionari)
sia f una funzione di una o più variabili definita in un insieme X, derivabile rispetto a tutte le variabili in un punto A. se f(A) è il massimo o il minimo di f in X ed A è interno ad X, le derivate sono nulle in A.
dimostrazione: sia f(A) il massimo di f in X. f(P)-f(A)$<=0$ per ogni P appartenente a X. sia $a_1$ la prima coordinata di A. essendo A interno a X, $a_1$ è interno alla proiezione di X sul primo asse; il rapporto incrementale parziale rispetto alla prima coordinata è non negativo a sinistra di $a_1$ e non positivo a destra di $a_1$; ne segue che il suo limite, cioè la derivata parziale prima di f in A, se esiste è nulla. lo stesso può dirsi se f(A) è il minimo di f in X e per le derivate rispetto alle altre variabili.
perchè parla di proiezione di X sul primo asse? e poi non c'è un modo di scrivere con le formule le derivate parziali?
così non mi sembra molto chiaro...
grazie
sia f una funzione di una o più variabili definita in un insieme X, derivabile rispetto a tutte le variabili in un punto A. se f(A) è il massimo o il minimo di f in X ed A è interno ad X, le derivate sono nulle in A.
dimostrazione: sia f(A) il massimo di f in X. f(P)-f(A)$<=0$ per ogni P appartenente a X. sia $a_1$ la prima coordinata di A. essendo A interno a X, $a_1$ è interno alla proiezione di X sul primo asse; il rapporto incrementale parziale rispetto alla prima coordinata è non negativo a sinistra di $a_1$ e non positivo a destra di $a_1$; ne segue che il suo limite, cioè la derivata parziale prima di f in A, se esiste è nulla. lo stesso può dirsi se f(A) è il minimo di f in X e per le derivate rispetto alle altre variabili.
perchè parla di proiezione di X sul primo asse? e poi non c'è un modo di scrivere con le formule le derivate parziali?
così non mi sembra molto chiaro...
grazie
Risposte
Secondo me è più facile se butti tutto sul caso unidimensionale. Sappiamo benissimo che una funzione derivabile su un intervallo aperto ha la derivata nulla nei massimi e minimi, anche relativi. Bene, allora se una funzione $f$ di più variabili è definita in un aperto X (occhio a questo fatto: di derivate si parla negli aperti, perché è negli aperti che hai a disposizione i teoremi fondamentali), e $x_0\inX$ è un massimo o un minimo (anche relativo), per ogni curva $gamma$ passante per $x_0$ (e tale che $x_0$ non sia un suo estremo: per esempio un segmento in $X$ avente $x_0$ come punto medio) succede che $fcircgamma$ è una funzione di una sola variabile. Se $gamma(t_0)=x_0$, allora evidentemente $t_0$ è un minimo, o un massimo, di una funzione di una variabile.
Ora se supponi che $f$ sia differenziabile e $gamma$ sia regolare, allora riesci a calcolare la derivata di $fcircgamma$ in $x_0$ con la regola sul differenziale delle funzioni composte, che conosci certamente. Ottieni: $(fcircgamma)'(t)=f'(gamma(t))gamma'(t)$, dove $f'$ è il differenziale di $f$. (Se preferisci puoi pensare ad $f'$ come alla matrice Jacobiana di $f$. E' la stessa cosa in pratica.) Ma questo oggetto deve essere nullo in $t_0$, quindi:
$f'(x_0)gamma'(t_0)=0$. Questo per ogni curva $gamma$ passante per $x_0$. E' chiaro che allora deve essere nullo il differenziale di $f$, altrimenti questa cosa non starebbe in piedi.
Per una verifica formale, osserva che puoi prendere come $gamma$ dei segmenti paralleli agli assi coordinati. Che so, se sei in $RR^n$ prendi per ogni vettore $e_i$ della base canonica la curva $gamma(t)=x_0+te_i$, dove $t$ varia in un intorno di zero, abbastanza piccolo perché $gamma(t)$ non esca da $X$. La derivata di questa curva è proprio $e_i$, come è facile verificare. Di conseguenza, $f'(x_0)e_i=0$ per ogni $i=1..n$, e sappiamo dall'algebra lineare che questo implica $f'(x_0)=0$.
Ora se supponi che $f$ sia differenziabile e $gamma$ sia regolare, allora riesci a calcolare la derivata di $fcircgamma$ in $x_0$ con la regola sul differenziale delle funzioni composte, che conosci certamente. Ottieni: $(fcircgamma)'(t)=f'(gamma(t))gamma'(t)$, dove $f'$ è il differenziale di $f$. (Se preferisci puoi pensare ad $f'$ come alla matrice Jacobiana di $f$. E' la stessa cosa in pratica.) Ma questo oggetto deve essere nullo in $t_0$, quindi:
$f'(x_0)gamma'(t_0)=0$. Questo per ogni curva $gamma$ passante per $x_0$. E' chiaro che allora deve essere nullo il differenziale di $f$, altrimenti questa cosa non starebbe in piedi.
Per una verifica formale, osserva che puoi prendere come $gamma$ dei segmenti paralleli agli assi coordinati. Che so, se sei in $RR^n$ prendi per ogni vettore $e_i$ della base canonica la curva $gamma(t)=x_0+te_i$, dove $t$ varia in un intorno di zero, abbastanza piccolo perché $gamma(t)$ non esca da $X$. La derivata di questa curva è proprio $e_i$, come è facile verificare. Di conseguenza, $f'(x_0)e_i=0$ per ogni $i=1..n$, e sappiamo dall'algebra lineare che questo implica $f'(x_0)=0$.
ehm...non ci ho capito quasi nulla...io frequento la facoltà di economia e analisi non si fa come a ingegneria... non c'è un metodo più semplice di questo?
Purtroppo non so fare meglio di così... In realtà non è difficile per nulla, le uniche difficoltà che stai incontrando riguardano il linguaggio. Prova a leggere questo pdf, l'autore spiega certamente molto meglio di me:
https://www.matematicamente.it/appunti/a ... 710161817/
https://www.matematicamente.it/appunti/a ... 710161817/
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