Teorema di Fermat in più variabili

[Giuly191]

Sul mio libro trovo questo teorema:
sia $f: E sube RR^n -> RR$,$E$ aperto, sia $f$ differenziabile in un punto $ul(a) in E$. Se $a$ è estremante, allora $ nablaf(ul(a))=ul(0) $.
Mi chiedevo se fosse possibile sostituire l'ipotesi di differenziabilità nel punto, con quella di continuità ed esistenza di ogni derivata direzionale.
Qualcuno saprebbe dirmi se è possibile?

[dissonance]

MMMhh, mi sa che c'è l'inghippo. Se esiste ogni derivata direzionale e basta, $nablaf$ potrebbe non significare niente. In fondo, $nabla f$ è solo la raccolta di $n$ derivate, prese lungo certe direzioni prestabilite. Cosa hanno di particolare queste direzioni? Proprio nulla a meno che $f$ non sia differenziabile, nel qual caso vale la regola del gradiente e allora ogni derivata direzionale si ricostruisce tramite $nabla f$. Ma senza questa ipotesi niente regola del gradiente e $nabla f$ potrebbe essere un oggetto perfettamente inutile.

P.S.: Ah no, aspetta, tu vuoi solamente una implicazione proprio innocua: se $a$ è estremante (minimo o massimo locale, intendi) allora $nabla f(a)=0$. Si, questo è vero e basta che $f$ sia derivabile direzionalmente in $a$. Infatti, per dimostrare questa roba tu valuti $f$ lungo ogni direzione e ottieni una funzione di una sola variabile che ha un punto di estremo. Allora la derivata della restrizione si annulla e la derivata della restrizione è la derivata direzionale. Fine.

[Giuly191]

Infatti era proprio per questo che ci stavo pensando, nella dimostrazione non c'era niente che necessitasse della differenziabilità nel punto.
Comunque e' vero, ora che ci penso il gradiente è definito nel momento in cui la funzione è differenziabile nel punto, lo avevo scritto solo per evitare di dire che tutte le derivate parziali devono essere nulle.