Teorema di Eulero sulle funzioni quadratiche
salve, sono incappato in un passaggio del libro abbastanza oscuro e sono qui per chiedere qualche suggerimento:
ho una funzione $Phi(epsilon_x,epsilon_y,epsilon_z,gamma_(xy),gamma_(xz),gamma_(yz))=1/2{((del^2Phi)/(delepsilon_x^2))_0epsilon_x^2+2((del^2Phi)/(delepsilon_xdelepsilon_y))_0epsilon_xepsilon_y+2((del^2Phi)/(delepsilon_xdelepsilon_z))_0epsilon_xepsilon_z+2((del^2Phi)/(delepsilon_xdelgamma_(xy)))_0epsilon_xgamma_(xy)+...+((del^2Phi)/(delgamma_(yz)^2))_0gamma_(yz)^2}$ ($=1/2$ e cioè l'approssimazione al second'ordine nell'intorno di 0 della funzione Fi, avendo posto i termini del prim'ordine =0)
e qui mi dice "essendo $Phi$ una funzione quadratica nelle sue variabili, in base al noto teorema di Eulero sulle funzioni quadratiche, può porsi
$Phi(epsilon_x,epsilon_y,...,gamma_(yz))=1/2((delPhi)/(delepsilon_x)epsilon_x+(delPhi)/(delepsilon_y)epsilon_y+...+(delPhi)/(delgamma_(yz))gamma_(yz))$ essendo ovviamente la derivate calcolate questa volta nel punto generico di coordinate $(epsilon_x,epsilon_y,...,gamma_(yz))$"
Ebbene non ricordo di aver studiato mai un teorema di Eulero sulle funzioni quadratiche, non lo trovo sul libro né su internet... Che sia forse chiamato diversamente? Conoscete voi un simile teorema e sapreste indicarmi dove trovarlo??
ho una funzione $Phi(epsilon_x,epsilon_y,epsilon_z,gamma_(xy),gamma_(xz),gamma_(yz))=1/2{((del^2Phi)/(delepsilon_x^2))_0epsilon_x^2+2((del^2Phi)/(delepsilon_xdelepsilon_y))_0epsilon_xepsilon_y+2((del^2Phi)/(delepsilon_xdelepsilon_z))_0epsilon_xepsilon_z+2((del^2Phi)/(delepsilon_xdelgamma_(xy)))_0epsilon_xgamma_(xy)+...+((del^2Phi)/(delgamma_(yz)^2))_0gamma_(yz)^2}$ ($=1/2
e qui mi dice "essendo $Phi$ una funzione quadratica nelle sue variabili, in base al noto teorema di Eulero sulle funzioni quadratiche, può porsi
$Phi(epsilon_x,epsilon_y,...,gamma_(yz))=1/2((delPhi)/(delepsilon_x)epsilon_x+(delPhi)/(delepsilon_y)epsilon_y+...+(delPhi)/(delgamma_(yz))gamma_(yz))$ essendo ovviamente la derivate calcolate questa volta nel punto generico di coordinate $(epsilon_x,epsilon_y,...,gamma_(yz))$"
Ebbene non ricordo di aver studiato mai un teorema di Eulero sulle funzioni quadratiche, non lo trovo sul libro né su internet... Che sia forse chiamato diversamente? Conoscete voi un simile teorema e sapreste indicarmi dove trovarlo??
Risposte
Ciao!
E' un caso particolare del teorema di Eulero sulle funzioni omogenee.
Vedi, ad esempio, qui:
http://mathworld.wolfram.com/EulersHomo ... eorem.html
E' un caso particolare del teorema di Eulero sulle funzioni omogenee.
Vedi, ad esempio, qui:
http://mathworld.wolfram.com/EulersHomo ... eorem.html
grazie! mi era capitato questo teorema ma ad occhio non avevo notato nessun nesso con il mio caso. Ci rifletterò
Ecco il mio ragionamento.
E' la prima volta che mi imbatto in funzioni omogenee. Prendiamo ad esempio per semplicità la funzione di due variabili $f: A sub RR^2 -> RR$
$f(x,y)=1/2(((del^2f)/(delx^2))_0x^2+2((del^2f)/(delxdely))_0xy+((del^2f)/(dely^2))_0y^2)
risulta $ =((del^2f)/(delx^2))_0x^2+2((del^2f)/(delxdely))_0xy+((del^2f)/(dely^2))_0y^2=2f(x,y)$ per il teorema di Eulero f è omogenea di grado 2.
Ora, da questa uguaglianza deduco immediatamente che $f(x,y)=1/2$.
E' sufficiente questo o mi occorre sapere altro sulle funzioni omogenee?
E' la prima volta che mi imbatto in funzioni omogenee. Prendiamo ad esempio per semplicità la funzione di due variabili $f: A sub RR^2 -> RR$
$f(x,y)=1/2(((del^2f)/(delx^2))_0x^2+2((del^2f)/(delxdely))_0xy+((del^2f)/(dely^2))_0y^2)
risulta $
Ora, da questa uguaglianza deduco immediatamente che $f(x,y)=1/2
E' sufficiente questo o mi occorre sapere altro sulle funzioni omogenee?
Per dire che la tua funzione è omogenea di grado due non è necessario fare ricorso ad
E' una forma quadratica, quindi ovviamente è omogenea di grado due.
Quindi puoi usare Eulero per la formula che riguarda le derivate (il gradiente)
Quindi puoi usare Eulero per la formula che riguarda le derivate (il gradiente)
thanks