Teorema di Eulero e funzioni definite come integrali
Ci sono due teoremi che non capisco bene.
Il primo è il teorema di Eulero per funzioni omogenee, definito in questo modo:
"Siano A un cono di R^2 ed f una funzione differenziabile da A in R. Se f è anche positivamente omogenea di grado n, allora il prodotto scalare tra il gradiente di f e (x, y) è uguale al prodotto n f(x, y)."
Non mi è molto chiaro cosa voglia dire e volevo chiedervi magari qualche esempio che mi possa far capire anche graficamente.
Il secondo non è proprio un teorema, ma la formula di integrazione di funzioni definite come integrali.
$ F(x)=int_(A(x))^(B(x)) f(x,t) dt $
$ (partial F(x))/(partial x) = f(x, B(x))(partial B(x))/(partial x) - f(x, A(x))(partial A(x))/(partial x)+int_(A(x))^(B(x)) (partial f(x, t))/(partial x) dt $
O meglio, mi sembra tutto normale fino all'ultimo integrale. Non capisco perché ci sia bisogno di aggiungerlo.
Scusate se saranno dubbi stupidi, sono al primo approccio con le funzioni a due variabili.
Il primo è il teorema di Eulero per funzioni omogenee, definito in questo modo:
"Siano A un cono di R^2 ed f una funzione differenziabile da A in R. Se f è anche positivamente omogenea di grado n, allora il prodotto scalare tra il gradiente di f e (x, y) è uguale al prodotto n f(x, y)."
Non mi è molto chiaro cosa voglia dire e volevo chiedervi magari qualche esempio che mi possa far capire anche graficamente.
Il secondo non è proprio un teorema, ma la formula di integrazione di funzioni definite come integrali.
$ F(x)=int_(A(x))^(B(x)) f(x,t) dt $
$ (partial F(x))/(partial x) = f(x, B(x))(partial B(x))/(partial x) - f(x, A(x))(partial A(x))/(partial x)+int_(A(x))^(B(x)) (partial f(x, t))/(partial x) dt $
O meglio, mi sembra tutto normale fino all'ultimo integrale. Non capisco perché ci sia bisogno di aggiungerlo.
Scusate se saranno dubbi stupidi, sono al primo approccio con le funzioni a due variabili.
Risposte
Fatti un esempio. Calcola la derivata di
\[
F(x)=\int_0^1 x\, dt.\]
Attenzione: non ho sbagliato a scrivere. Intendo proprio che la variabile di integrazione è \(t\), quindi \(F(x)=x\). Fai finta di non saperlo e calcola la derivata dell'integrale.
\[
F(x)=\int_0^1 x\, dt.\]
Attenzione: non ho sbagliato a scrivere. Intendo proprio che la variabile di integrazione è \(t\), quindi \(F(x)=x\). Fai finta di non saperlo e calcola la derivata dell'integrale.
Per quanto riguarda Eulero, calcolati il gradiente di $f(x,y) = x^2 + 2 xy + 3 y^2$ ed il prodotto scalare $<< nabla f(x,y) , (x,y) >>$.
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