Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy di un EDO

[Sk_Anonymous]

ciao

mi chiedevo una cosa... il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy di un EDO garantisce, sotto opportune ipotesi, l'unicità della soluzione per un ED ordinaria....

tuttavia lessi che, nel caso di ED lineari bastava la continuità a garantire l'esistenza e unicità locale.. come mai si verifica ciò? Per quanto concerne ED scritte in forma normale, invece, la continuità non è sufficiente.. come mai?

grazie a chi mi darà qualche spunto

[Rigel1]

Se l'equazione è del tipo \(y' = f(t,y)\), con \(f(t,y) = a(t) y\), affinché \(f\) soddisfi le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale basta che la funzione \(a(t)\) sia continua.

[Sk_Anonymous]

perchè la lipschitzianità non serve nel caso di ED lineari?

[Rigel1]

Prova a vedere se la funzione \(f(t,y) = a(t) y\) è localmente Lipschitziana in \(y\) uniformemente rispetto a \(t\).

[Sk_Anonymous]

ovviamente no, è monotona qualunque sia l'intorno considerato... non capisco come mai la proprietà della linearità garantisca l'unicità locale per PdC anche se viene a mancare la lipschitzianità...

[Rigel1]

"Suv":ovviamente no, è monotona qualunque sia l'intorno considerato... non capisco come mai la proprietà della linearità garantisca l'unicità locale per PdC anche se viene a mancare la lipschitzianità...

Ovviamente sì: basta osservare che
\[
| f(t, x) - f(t,y)| = |a(t) x - a(t) y| = |a(t)| \cdot |x-y|.
\]
Poiché \(a(t)\) è continua, se \([\alpha, \beta]\) è un qualsiasi intervallo compatto contenuto nel suo dominio, posto \(L:=\max\{|a(t)|:\ t\in[\alpha, \beta]\}\) hai che
\[
|f(t,x) - f(t,y)| \leq L |x-y|, \qquad \forall t\in [\alpha, \beta],\ \forall x,y\in\mathbb{R}.
\]
(Una simile dimostrazione vale anche in \(\mathbb{R}^n\).)