Teorema di esistenza e unicità globale e operatore di Volterra
Buonasera! Ho un assillante dubbio che riguarda la dimostrazione del teorema di esistenza e unicità globale per il problema di Cauchy per funzioni \(\mathbb R\to\mathbb R^m\). Ad un certo punto si calcola la distanza, nello spazio metrico \(\mathcal C(I)\) con la distanza della norma uniforme, tra due funzioni \(\mathbf y\) e \(\mathbf z\) in \(\mathcal C(I)\), dove \(I\) è l'intervallo dove la funzione \(\mathbf f(x,\mathbf y)\) del problema di Cauchy è continua.
Il problema di Cauchy è dato come
\[
\begin{cases}
\mathbf y'=\mathbf f(x,\mathbf y)\\
\mathbf y(x_0)=\mathbf y_0
\end{cases}
\]
Dicevo, nella mia dimostrazione e sul mio libro di riferimento c'è il passaggio (la norma qui è in \(\mathbb R^n\))
\[
d(\mathbf y,\mathbf z)=\|\mathrm V(\mathbf y)(x)-\mathrm V(\mathbf z)(x)\|=\Big\|\int_{x_0}^x\mathbf f\big(t,\mathbf y(t)\big)dt-\int_{x_0}^x\mathbf f\big(t,\mathbf z(t)\big)dt\Big\|
\]
e non, come per definizione dell'operatore di Volterra (almeno così credo io!)
\[
\|\mathrm V(\mathbf y)(x)-\mathrm V(\mathbf z)(x)\|=\Big\|\mathbf y(x_0)+\int_{x_0}^x\mathbf f\big(t,\mathbf y(t)\big)dt-\mathbf z(x_0)-\int_{x_0}^x\mathbf f\big(t,\vec z(t)\big)dt\Big\|
\]
Quale passaggio nascosto non riesco a capire? È da un po' che mi scervello su questa domanda e ho scandagliato una marea di siti, ma non ho ancora trovato una risposta.
Il problema di Cauchy è dato come
\[
\begin{cases}
\mathbf y'=\mathbf f(x,\mathbf y)\\
\mathbf y(x_0)=\mathbf y_0
\end{cases}
\]
Dicevo, nella mia dimostrazione e sul mio libro di riferimento c'è il passaggio (la norma qui è in \(\mathbb R^n\))
\[
d(\mathbf y,\mathbf z)=\|\mathrm V(\mathbf y)(x)-\mathrm V(\mathbf z)(x)\|=\Big\|\int_{x_0}^x\mathbf f\big(t,\mathbf y(t)\big)dt-\int_{x_0}^x\mathbf f\big(t,\mathbf z(t)\big)dt\Big\|
\]
e non, come per definizione dell'operatore di Volterra (almeno così credo io!)
\[
\|\mathrm V(\mathbf y)(x)-\mathrm V(\mathbf z)(x)\|=\Big\|\mathbf y(x_0)+\int_{x_0}^x\mathbf f\big(t,\mathbf y(t)\big)dt-\mathbf z(x_0)-\int_{x_0}^x\mathbf f\big(t,\vec z(t)\big)dt\Big\|
\]
Quale passaggio nascosto non riesco a capire? È da un po' che mi scervello su questa domanda e ho scandagliato una marea di siti, ma non ho ancora trovato una risposta.
Risposte
Non è che \(\mathbf{y}(t_0) = \mathbf{z}(t_0)\) e quindi si elidono?
È quello che credo anch'io, mi sembra l'ipotesi più probabile, però non vedo alcun indizio sul perché debbano coincidere, dato che sono due funzioni generiche di \(\mathcal C(I)\). Dopotutto non sono due funzioni entrambe soluzioni di quel problema di Cauchy (altrimenti dovrebbero coincidere in tutto e per tutto e non avrebbe molto senso calcolarne la distanza...).
Edit: ...a meno che applicando \(\mathrm V\) con la stessa funzione integranda \(\mathbf f\) non si ottenga sempre lo stesso "valore iniziale" in \(x_0\) a qualunque funzione si applichi l'operatore: può essere per questo?
Edit: ...a meno che applicando \(\mathrm V\) con la stessa funzione integranda \(\mathbf f\) non si ottenga sempre lo stesso "valore iniziale" in \(x_0\) a qualunque funzione si applichi l'operatore: può essere per questo?
Sono due funzioni qualsiasi? Non conosco la dimostrazione, puoi abbozzarne l'incipit? Io ne conosco una dove si considerano due approssimazioni successive ma evidentemente non è questo il caso
La dimostrazione comincia così:
Si consideri l'intervallo \([x_0,b]\): si definisce \(h=\min\big\{b-x_0,\frac1{2L}\big\}\), dove \(L\) è la costante di Lipschitz per \(\mathbf f\) rispetto alla variabile \(\mathbf y\), e l'intervallo \(I_0=[x_0,x_0+h]\). Lo spazio \(X=\big(\mathcal C(I_0),d_\infty\big)\), con la distanza \(d_{\infty}=\|\mathbf f-\mathbf g\|_{\infty,I_0}\), è uno spazio metrico completo. Per ogni \(\mathbf y\in X\), si applichi l'operatore di Volterra: \(\mathrm V(\mathbf y)\in\mathcal C(I_0)\), quindi l'operatore è una mappa \(\mathrm V\colon X\to X\). In questo spazio metrico, date due funzioni \(\mathbf y,\mathbf z\in X\), la norma della loro differenza è per ogni \(x\in I_0\)
\[
\|\mathrm V(\mathbf y)(x)-\mathrm V(\mathbf z)(x)\|=\\
=\Big\|\int_{x_0}^x\mathbf f\big(t,\mathbf y(t)\big)dt-\int_{x_0}^x\mathbf f\big(t,\mathbf z(t)\big)dt\Big\|=\\
=\Big\|\int_{x_0}^x\Big[\mathbf f\big(t,\mathbf y(t)\big)-\mathbf f\big(t,\mathbf z(t)\big)\Big]dt\Big\|,
\]
in cui la norma si intende in \(\mathbb R^n\)...
serve anche la tesi, o il seguito?
Si consideri l'intervallo \([x_0,b]\): si definisce \(h=\min\big\{b-x_0,\frac1{2L}\big\}\), dove \(L\) è la costante di Lipschitz per \(\mathbf f\) rispetto alla variabile \(\mathbf y\), e l'intervallo \(I_0=[x_0,x_0+h]\). Lo spazio \(X=\big(\mathcal C(I_0),d_\infty\big)\), con la distanza \(d_{\infty}=\|\mathbf f-\mathbf g\|_{\infty,I_0}\), è uno spazio metrico completo. Per ogni \(\mathbf y\in X\), si applichi l'operatore di Volterra: \(\mathrm V(\mathbf y)\in\mathcal C(I_0)\), quindi l'operatore è una mappa \(\mathrm V\colon X\to X\). In questo spazio metrico, date due funzioni \(\mathbf y,\mathbf z\in X\), la norma della loro differenza è per ogni \(x\in I_0\)
\[
\|\mathrm V(\mathbf y)(x)-\mathrm V(\mathbf z)(x)\|=\\
=\Big\|\int_{x_0}^x\mathbf f\big(t,\mathbf y(t)\big)dt-\int_{x_0}^x\mathbf f\big(t,\mathbf z(t)\big)dt\Big\|=\\
=\Big\|\int_{x_0}^x\Big[\mathbf f\big(t,\mathbf y(t)\big)-\mathbf f\big(t,\mathbf z(t)\big)\Big]dt\Big\|,
\]
in cui la norma si intende in \(\mathbb R^n\)...
serve anche la tesi, o il seguito?
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