Teorema di esistenza e unicità
Non capisco a cosa serve l'ipotesi di lipschitzianità della f
Risposte
Penso che tu ti riferisca al problema di Cauchy per una equazione differenziale.
Serve a garantire l'unicità. La continuità è sufficiente per garantire l'esistenza della soluzione, ma noin l'unicità
ciao
Serve a garantire l'unicità. La continuità è sufficiente per garantire l'esistenza della soluzione, ma noin l'unicità
ciao
si scusate, mi riferisco al problema di Cauchy, perchè la lipschitzianità serve a garantire l'unicità?
Vediamo se questa risposta serve a chiarire un poco le cose.
Diciamo così. Di solito le dimostrazioni "elementari" del teorema di esistenza ed unicità sono basate o sul metodo delle approssimazioni successive o sull'uso di un teorema di punto fisso (quello delle contrazioni).
Dipende dalla dim che hai visto.
Ad esempio, la ipotesi si lischitzianità ti permette di garantire che hai davvero una contrazione, pur di lavorare su un intorno (della punto iniziale) sufficientemente piccolo.
Ugualmente, nella dimostrazione via approssimazioni successive, è grazie alla lipschitzianità che riesci a dimostrare che due soluzioni del problema dato devono coincidere (lo si può fare con stime appropriate).
La condizione di lipschitzianità non è necessaria per ottenere l'unicità, che si può dimostrare anche sotto ipotesi meno forti. Ma è comunque la più classica delle condizioni, ed è comoda perché la si può ottenere abbastanza agevolmente (via teorema di Lagrange) dalla condizione che il secondo membro sia di classe $C^1$
Diciamo così. Di solito le dimostrazioni "elementari" del teorema di esistenza ed unicità sono basate o sul metodo delle approssimazioni successive o sull'uso di un teorema di punto fisso (quello delle contrazioni).
Dipende dalla dim che hai visto.
Ad esempio, la ipotesi si lischitzianità ti permette di garantire che hai davvero una contrazione, pur di lavorare su un intorno (della punto iniziale) sufficientemente piccolo.
Ugualmente, nella dimostrazione via approssimazioni successive, è grazie alla lipschitzianità che riesci a dimostrare che due soluzioni del problema dato devono coincidere (lo si può fare con stime appropriate).
La condizione di lipschitzianità non è necessaria per ottenere l'unicità, che si può dimostrare anche sotto ipotesi meno forti. Ma è comunque la più classica delle condizioni, ed è comoda perché la si può ottenere abbastanza agevolmente (via teorema di Lagrange) dalla condizione che il secondo membro sia di classe $C^1$
"Fioravante Patrone":
Ad esempio, la ipotesi si lischitzianità ti permette di garantire che hai davvero una contrazione, pur di lavorare su un intorno (della punto iniziale) sufficientemente piccolo.
E' questo che non capisco, se si suppone la lischitzianità, vuol dire che la costante L>0, quindi che sia una contrazione è garantito dal fatto di lavorare su un intorno sufficientemente piccolo?
Inotre che la f sia lischitziana a y vuol dire:
|f(x,y1)-f(x, y2)|<=L|y1-y2|
si può dire che il rapporto incrementale nel punto y2 è limitato e quindi f è differenziabile in y2?
"patojo":
E' questo che non capisco, se si suppone la lischitzianità, vuol dire che la costante L>0, quindi che sia una contrazione è garantito dal fatto di lavorare su un intorno sufficientemente piccolo?
Inotre che la f sia lischitziana a y vuol dire:
|f(x,y1)-f(x, y2)|<=L|y1-y2|
si può dire che il rapporto incrementale nel punto y2 è limitato e quindi f è differenziabile in y2?
Andiamo con ordine. La lipschitzianità vuol dire che vale quello che scrivi tu:
|f(x,y1)-f(x, y2)|<=L|y1-y2|
con L >= 0. La stretta positività della costante di Lipschitz non ha nessun ruolo (d'altra parte, se L=0, hai una funzione che non dipende da y e quindi le cose diventano banalucce)
Comunque, la lipschitzianità serve proprio a garantire che tu abbia una contrazione, pur di metterti su un intorno sufficientemente piccolo della condizione iniziale.
Alla tua ultima affermazione la risposta è un drastico NO!
La lipschitzianità non garantisce la derivabilità della funzione (per un semplice esempio basta pensare al valore assoluto, funzione di una variabile, che è lipschitziana, con L=1; ma che non è derivabile in 0).
Beh attenzione Fioravante, non è che quel tuo ultimo NO sia proprio così drastico; esiste pur sempre il Teorema di Rademacher il quale afferma che se una funzione è lipschitiziana allora è differenziabile in quasi tutti i punti del suo dominio (i punti in cui non lo è formano un insieme di misura di Lebesgue nulla).
Va sottolineato che il punto di partenza della dimostrazione per altro è proprio l'osservazione "ingenua" che patojo faceva: i rapporti incrementali sono limitati. Da ciò con qualche argomento di compattezza si dimostra la differenziabilità quasi ovunque.
Va sottolineato che il punto di partenza della dimostrazione per altro è proprio l'osservazione "ingenua" che patojo faceva: i rapporti incrementali sono limitati. Da ciò con qualche argomento di compattezza si dimostra la differenziabilità quasi ovunque.
"Luca.Lussardi":
Beh attenzione Fioravante, non è che quel tuo ultimo NO sia proprio così drastico; esiste pur sempre il Teorema di Rademacher il quale afferma che se una funzione è lipschitiziana allora è differenziabile in quasi tutti i punti del suo dominio (i punti in cui non lo è formano un insieme di misura di Lebesgue nulla).
Va sottolineato che il punto di partenza della dimostrazione per altro è proprio l'osservazione "ingenua" che patojo faceva: i rapporti incrementali sono limitati. Da ciò con qualche argomento di compattezza si dimostra la differenziabilità quasi ovunque.
che dire? Ci sono vari livelli del discorso, anche matematico.
Non mi sembrava il caso di citare la differenziabilità quasi ovunque di una funzione lipschitziana, in quel contesto. Se uno fa una domanda, la risposta deve essere data ad un livello adeguato. Lo scopo della risposta non deve essere quello di far vedere quanto uno è bravo o quante cosa sa.
E, naturalmente, la risposta alla domanda di patojo resta, ovviamente, no.
ciao
Non hai colto la mia risposta; a me non serve a nulla mostrare quello che so, nè quanto sia bravo, ammesso che lo sia. In realtà credo che tu abbia inziato con il dare una risposta poco corrispondente alla realtà: il tuo "drastico NO" può fare pensare, giustamente a chi è inesperto, che lipschtizianità e differenziabilità non sono assolutamente collegabili. Invece non è così. Avresti fatto meglio a pesare le parole in modo diverso, magari dicendo comunque che non è vero che se $f$ è lipschitz allora è differenziabile, con tanto di esempio, ma sottolineando che non ci siamo lontani dalla differenziabilità in tutti i punti.
luca,
ribadisco quanto ho detto, punto per punto.
1. il livello del discorso. Spero che patojo non me ne voglia, ma vorrei osservare questo. patojo chiedeva:
"si può dire che il rapporto incrementale nel punto y2 è limitato e quindi f è differenziabile in y2?"
Io ho ritenuto che patojo avesse un dubbio su una questione di fondo: si domandasse se una funzione limitata necesariamente debba avere limite.
A una persona che ha questo tipo di dubbio, io do una risposta adeguata al suo livello di preparazione. E, sia chiaro, in particolare in un forum come questo, se rispondo io rispetto il livello di preparazione di chi chiede, qualunque esso sia.
Parlare di tecniche di compattezza, di differenziabilità quasi ovunque, non era e non è consono al livello del discorso.
2. errori rilevanti da correggere. Nella mia precedente risposta a patojo, avevo notato che $C^1$ implica Lipschitz. Ora, la sua successiva domanda mi ha fatto presumere che lui pensasse si potesse rovesciare questa affermazione. Allora, per me è molto importante chiarire che "non vale il viceversa", per evitare un errore grossolano
3. anche quando patojo sa queste cose avanzate di cui parli, cosa se ne fa? Pensi davvero che sapere che la $f$ è differenziabile quasi ovunque serva, a lui, a qualcosa, nel contesto del discorso?
4. non ho capito perché parli di fare un esempio, visto che l'avevo fatto
5. raccolgo solo una cosa, in positivo, del tuo post. Che la matematica è fatta a strati, per cui affermazioni che a certi livelli sono "sbagliate" diventano "giuste" quando se ne sa un po' di più. A partire dal poter dividere 2 per 3, alla radice quadrata di un numero negativo, fino a fare le derivate (magari di ordine $\pi$) di funzioni discontinue...
ciao
ribadisco quanto ho detto, punto per punto.
1. il livello del discorso. Spero che patojo non me ne voglia, ma vorrei osservare questo. patojo chiedeva:
"si può dire che il rapporto incrementale nel punto y2 è limitato e quindi f è differenziabile in y2?"
Io ho ritenuto che patojo avesse un dubbio su una questione di fondo: si domandasse se una funzione limitata necesariamente debba avere limite.
A una persona che ha questo tipo di dubbio, io do una risposta adeguata al suo livello di preparazione. E, sia chiaro, in particolare in un forum come questo, se rispondo io rispetto il livello di preparazione di chi chiede, qualunque esso sia.
Parlare di tecniche di compattezza, di differenziabilità quasi ovunque, non era e non è consono al livello del discorso.
2. errori rilevanti da correggere. Nella mia precedente risposta a patojo, avevo notato che $C^1$ implica Lipschitz. Ora, la sua successiva domanda mi ha fatto presumere che lui pensasse si potesse rovesciare questa affermazione. Allora, per me è molto importante chiarire che "non vale il viceversa", per evitare un errore grossolano
3. anche quando patojo sa queste cose avanzate di cui parli, cosa se ne fa? Pensi davvero che sapere che la $f$ è differenziabile quasi ovunque serva, a lui, a qualcosa, nel contesto del discorso?
4. non ho capito perché parli di fare un esempio, visto che l'avevo fatto
5. raccolgo solo una cosa, in positivo, del tuo post. Che la matematica è fatta a strati, per cui affermazioni che a certi livelli sono "sbagliate" diventano "giuste" quando se ne sa un po' di più. A partire dal poter dividere 2 per 3, alla radice quadrata di un numero negativo, fino a fare le derivate (magari di ordine $\pi$) di funzioni discontinue...
ciao
Ti dò ragione in tutto, non sto dicendo che hai torto, l'esempio l'hai fatto, e va tutto bene.
Però io non avrei risposto nel tuo stesso modo, tutto qua. Non avrei detto "drastico NO", anche se patojo fosse stato uno studente di liceo.
Io avrei risposto come segue:
No, non è vero che se una funzione è lipschtz allora è derivabile (vedi esempio del modulo che hai fatto anche tu), anche se si può dimostrare che i punti dove non si ha la derivabilità sono comunque "pochi".
In questo modo, per me più corretto, si evitava di certo di tirare in gioco nozioni di livello superiore, ma si evitava anche di far credere (ed è solo per questo che sono intervenuto) che lipschitzianità e differenziabilità sono del tutto incollegabili.
Perdonami per la forse inuitile polemica ma per esperienza io tendo sempre ad essere completo anche tirando in gioco idee e nozioni di livello superiore.
Però io non avrei risposto nel tuo stesso modo, tutto qua. Non avrei detto "drastico NO", anche se patojo fosse stato uno studente di liceo.
Io avrei risposto come segue:
No, non è vero che se una funzione è lipschtz allora è derivabile (vedi esempio del modulo che hai fatto anche tu), anche se si può dimostrare che i punti dove non si ha la derivabilità sono comunque "pochi".
In questo modo, per me più corretto, si evitava di certo di tirare in gioco nozioni di livello superiore, ma si evitava anche di far credere (ed è solo per questo che sono intervenuto) che lipschitzianità e differenziabilità sono del tutto incollegabili.
Perdonami per la forse inuitile polemica ma per esperienza io tendo sempre ad essere completo anche tirando in gioco idee e nozioni di livello superiore.
la successione dei post converge verso un "idem sentire"
sono d'accordo che il "drastico no" me lo potevo risparmiare. E' che ero preoccupato che patojo (chissà se gli fischiano le orecchie), che non conosco, potesse fare un grave errore
ciao e complimenti per la assiduità
sono d'accordo che il "drastico no" me lo potevo risparmiare. E' che ero preoccupato che patojo (chissà se gli fischiano le orecchie), che non conosco, potesse fare un grave errore
ciao e complimenti per la assiduità
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