Teorema di esistenza e unicità

[bjunior]

Salve ho dei problemi con l'apprendimento del teorema di esistenza e unicità per problemi di Cauchy; se ho un problema di Cauchy \(\displaystyle {f(t,y)=(\sqrt(1+t))/t)(cos^2(y)), f(3)=0} \)
il problema ammette unicità di soluzione?? quindi come faccio a stabilire l'unicità della soluzione??
grazie in anticipo

[vict85]

A parte che immagino sia \(\displaystyle y(3) = 0 \), direi che potresti iniziare a cercare di applicare il teorema dell'esistenza e dell'unicità in un intorno di \(\displaystyle (3,0) \). In particolare ti farei notare che in un intorno di \(\displaystyle t = 3 \) la funzione \(\displaystyle \frac{\sqrt{1+t}}{t} \) è senza dubbio continua e derivabile. Similemente anche \(\displaystyle \cos^2 y \) è una funzione \(\displaystyle C^{\infty} \) (su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \)) in quanto composizione di funzioni \(\displaystyle C^{\infty} \). Cosa deduci da ciò?

[bjunior]

deduco che quindi in un intorno di $ (3,0) $ esiste un'unica soluzione quindi se io voglio studiare le soluzioni di questo problema di cauchy intanto so che in un intorno del punto $(3,0)$ c'è un unica soluzione... poi come continuo?? se voglio vedere l'insieme delle soluzioni e non solo nell'intorno di questo punto?? perchè so anche che $ y=\pi/2$ e $y=-\pi/2$ sono soluzioni stazionarie del problema

[bjunior]

mi correggo $ y=\pi/2$ $y=-\pi/2 $ non sono soluzioni stazionarie... se qualcuno mi può aiutare??

[vict85]

Quella è una equazione differenziali a variabili separabili. Ti suggerisco questa lettura (scritta da un nostro utente, ex docente universitario).

Comunque perché consideri solo \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \) e \(\displaystyle -\frac{\pi}{2} \)? Non mi sembra che il coseno si annulli solo in quei punti. Comunque sono soluzioni stazionarie.

[gugo82]

Posto un accenno allo studio qualitativo della soluzione massimale del PdC:
\[
\begin{cases}
y^\prime (t) = \frac{\sqrt{1+t}}{t}\ \cos^2 y(t)\\
y(3)=0\; .
\end{cases}
\]

Innanzitutto, notiamo che la EDO è di primo ordine, nonlineare, omogenea (e dunque a variabili separabili); il secondo membro:
\[
f(t,y):=\frac{\sqrt{1+t}}{t}\ \cos^2 y
\]
è definito in \(\Omega:=([-1,\infty[\setminus\{ 0\})\times \mathbb{R} \subset \mathbb{R}^2\) e è indefinitamente derivabile nell'interno di tale insieme; pertanto \(f\) è localmente Lipschitziana internamente ad \(\Omega\).
Dato che il punto iniziale \((t_0,y_0)=(3,0)\) è interno ad \(\Omega\), il teorema di unicità locale assicura l'esistenza di un'unica soluzione al PdC assegnato; inoltre, per noti risultati di estensione, la soluzione locale del PdC può essere prolungata in maniera unica ad un intervallo massimale \(]T_-,T^+[\). Qui di seguito chiameremo \(y(t;3,0)\) la soluzione massimale ottenuta prolungando la soluzione locale a \(]T_-,T^+[\).

Dato che \(f\in C^\infty\) internamente ad \(\Omega\), la soluzione massimale \(y(t;3,0)\) è certamente \(C^\infty\) in \(]T_-,T^+[\) (basta usare il solito argomento di bootstrap).
Inoltre, dato che le soluzioni stazionarie della EDO sono le funzioni \(y^n(t):=\frac{\pi}{2} + n\pi\) (per \(n\in \mathbb{Z}\)) e dato che \(y_0=0\in ]-\pi/2 , \pi/2[\), la soluzione \(y(t;3,0)\) deve necessariamente il suo grafico confinato nella striscia interna ad \(\Omega\) delimitata dai grafici di \(y^0(t):=\pi/2\) ed \(y^{-1}(t):=-\pi/2\); pertanto si ha \(-\pi/2
Ora, visto che \((3,0)\in ]0,\infty[\times \mathbb{R}\) e che il secondo membro della EDO presenta una discontinuità nei punti dell'asse \(y\), l'insieme di definizione \(]T_-,T^+[\) della soluzione \(y(t;3,0)\) non può contenere lo \(0\); conseguentemente si ha certamente \(]T_-,T^+[\subseteq ]0,\infty[\).
D'altra parte, si ha certamente:
\[
|f(t,y)| =\frac{\sqrt{1+t}}{|t|}\ \cos^2 y \leq 2\ \frac{\sqrt{1+t}}{|t|}\ |y+1|
\]
quindi \(f\) ha crescita al più lineare in \(y\); un noto teorema assicura dunque che \(T^+=\infty\), sicché \(y(t;3,0)\) è definita in \(]T_-,\infty[\).

Visto che \(f(t,y)\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)] per \((t,y)\in ]0,\infty[\times \mathbb{R}\) [risp. \(\in [-1,0[\times \mathbb{R}\)], si ha certamente \(y^\prime (t;3,0)\geq 0\), dunque \(y(t;3,0)\) cresce strettamente in \(]T_-,\infty[\).
Conseguentemente esiste il \(\lim_{t\to T_-^+} y(t;3,0)\) e tale limite è finito, in quanto, come detto sopra, la \(y(t;3,0)\) è limitata in \(]-\pi/2,\pi/2[\); per un noto risultato di estensione, ciò importa che \(T_-=0\) (perché, se fosse \(T_->0\) si potrebbe ancora prolungare \(y(t;3,0)\) a sinistra di \(T_-\), il che è assurdo, data la massimalità dell'intervallo).

Per il teorema dell'asintoto, si ha \(\lim_{t\to \infty} y(t;3,0) = \pi/2\), dunque la retta d'equazione \(y=\pi/2\) è un asintoto orizziontale per il diagramma del grafico di \(y(t;3,0)\).
Se dovessi scommettere qualcosa sul valore del limite in \(0\) direi:
\[
\lim_{t\to 0^+} y(t;3,0) = -\frac{\pi}{2}\; ,
\]
ma qui lascio lavorare voi.

Lo studio della concavità del grafico di \(y(t;3,0)\) forse può essere accennato calcolando esplicitamente la derivata seconda; e lo lascio a voi.

Ricapitolando: il PdC assegnato ha un'unica soluzione massimale definita ed indefinitamente derivabile in \(]0,\infty[\), la quale è crescente nel suo dominio ed ha asintoto a destra la retta \(y=\pi/2\).

[bjunior]

Grazie mille gugo82
un 'ultima domanda generale: non ho capito la differenza tra esistenza locale e esistenza globale... studiando gli appunti ho dedotto che per l'esistenza locale applichiamo il teorema di cauchy-lipschitz e fino a lì ci siamo, mentre per l'esistenza globale basta che la soluzione ammetti un intervallo di definizione massimale e quindi che non avvenga il fenomeno di blow up in nessun caso giusto??