Teorema di esistenza della soluzione del problema di Cauchy

[SaturnV]

Ciao a tutti, c'è un punto concettuale del teorema di esistenza di Cauchy che non mi convince.
Il mio testo afferma che la funzione soluzione è definita in un intorno del punto $x_0$ di raggio a.
Questo valore a è definito da due condizioni, le seguenti:
$|M*a| $|M_1*a|<1$

dove M è il masimo della f(y,x) nel rettangolo in cui è definita, b è il raggio dell'intorno di $y_0$ in cui è definita la f (funzione della y), $M_1$ è il massimo della derivata di f fatta rispetto a y nello stesso rettangolo.

Il libro mi dice una condizione affinchè la soluzione y(x) sia definita "in grande", ossia non solo in un intorno molto piccolo di $x_0$ è che la f(x,y) sia definita per ogni y appartenente a R. Infatti la prima condizione sulla a verrebbe meno, in quanto b sarebbe infinito. Bene.

... ma la seconda condizione sulla a non rimane ugualmente? Come fa la y(x) a essere definita per tutti gli x per cui la f(x,y) è definita, con questa condizione sul raggio del suo intorno di definizione?

Grazie!

Fabio

[holmes1]

Da quello che so , parola di professori, molti autori non hanno dedicato particolare attenzione ai non difficili ma delicati passagi del teorema dato.
Per certo, perchè l'ho studiato, so che il libro Analisi due di "De Marco" chiarisce bene il problema della esistenza in grande.



imbocca al lupo!!!