Teorema di esistenza dei valori intermedi

[Bulls1]

Buongiono, oggi mi sono imbattuto su un esercizio riguardante questo teorema.

Mi viene chiesto di "Dare un esempio di funzione continua che però non soddisfi l'ipotesi del teorema"

dalla definizione di Teorema di esistenza dei valori intermedi so:

Sia $ f:I -> \Re $ una funzione continua, dove $ I $ è un intervallo. Allora $ \forall y1y2 \in Imf $ con $ y1 < y2, $ si ha $ [y1,y2] \subset Im f $.

Dalla definizione però non saprei come procedere per trovare una funzione che non lo soddisfi

[dan952]

$f(x)={(1\ se\ x \in [1,+\infty),(-1\ se\ x \in (-\infty,-1]):}$
Come vedi la funzione è continua in $(-\infty,-1]uu[1,+\infty)$ ma questo insieme non è un intervallo e inoltre non assume tutti i valori compresi tra $1$ e $-1$

[gugo82]

@ Bulls:
Ragiona un momento.
Quali sono le ipotesi del teorema?

@ dan95:

"dan95":$f(x)={:(1\ se\ x \in [1,+\infty),(-1\ se\ x \in (-\infty,-1])$
Come vedi la funzione è continua in $(-\infty,-1]uu[1,+\infty)$ ma questo insieme non è un intervallo e inoltre non assume tutti i valori compresi tra $1$ e $-1$

Se posso darti un'opinione, questa risposta, seppur corretta, aiuta poco perchè è come un coniglio tirato fuori dal cilindro.

[dan952]

"gugo82":@ dan95:

Se posso darti un'opinione, questa risposta, seppur corretta, aiuta poco perchè è come un coniglio tirato fuori dal cilindro.

Messaggio ricevuto

[Bulls1]

"gugo82":@ Bulls:
Ragiona un momento.
Quali sono le ipotesi del teorema?

che la funzione sia continua.

[gugo82]

"Bulls":[quote="gugo82"]Quali sono le ipotesi del teorema?

che la funzione sia continua.[/quote]
Beh, se questa fosse la sola ipotesi del teorema, l'esercizio non avrebbe alcun senso, no?

[Bulls1]

"gugo82":[quote="Bulls"][quote="gugo82"]Quali sono le ipotesi del teorema

che la funzione sia continua.[/quote]
Beh, se questa fosse la sola ipotesi del teorema, l'esercizio non avrebbe alcun senso, no?[/quote]

mmh hai ragione

quindi oltre a quella condizione: "se $ y1y2 \in Imf $ e $ y1 < y2 $ .. giusto?

[gugo82]

No.
Leggi bene l'enunciato, all'inizio.

[Bulls1]

"gugo82":No.
Leggi bene l'enunciato, all'inizio.

intendi la condizione \( f: [x,y] -> \Re \) ?

[gugo82]

Quella non è una condizione... E poi non l'hai scritta così nell'enunciato precedente:

"Bulls":[strike]dalla definizione[/strike] l'enunciato del Teorema [strike]di esistenza[/strike] dei valori intermedi [strike]so[/strike] è:

Sia \(f:I \to \mathbb{R}\) una funzione continua, dove $ I $ è un intervallo.
Allora $ \forall y_1, y_2 \in Im f =f(I)$ con $ y_1 < y_2, $ si ha $ [y_1,y_2] \subseteq Im f $.

[Bulls1]

"gugo82":Quella non è una condizione... E poi non l'hai scritta così nell'enunciato precedente:
[quote="Bulls"][strike]dalla definizione[/strike] l'enunciato del Teorema [strike]di esistenza[/strike] dei valori intermedi [strike]so[/strike] è:

Sia \(f:I \to \mathbb{R}\) una funzione continua, dove $ I $ è un intervallo.
Allora $ \forall y_1, y_2 \in Im f =f(I)$ con $ y_1 < y_2, $ si ha $ [y_1,y_2] \subseteq Im f $.

[/quote]


mmh ok, ma da tutto ciò come trovo una funzione che non soddisfi questa condizione?

[gugo82]

Se non trovi la seconda ipotesi del teorema, l'esercizio non lo risolvi.
Dunque?

[Bulls1]

"gugo82":Se non trovi la seconda ipotesi del teorema, l'esercizio non lo risolvi.
Dunque?

\( y1 < y2 \) ?

[gugo82]

No.

Partiamo da zero.
Che cos'è un teorema? Come è strutturato il suo enunciato?

[Bulls1]

"gugo82":No.

Partiamo da zero.
Che cos'è un teorema? Come è strutturato il suo enunciato?

E' un enunciato composto da ipotesi e tesi

[gugo82]

"Bulls":[quote="gugo82"]No.

Partiamo da zero.
Che cos'è un teorema? Come è strutturato il suo enunciato?

E' un enunciato composto da ipotesi e tesi[/quote]
Soggetto, predicato, complemento... Formare frasi semplici aiuta a farsi comprendere dagli altri.

Ad ogni modo, un teorema è una proposizione "composta" che, nella forma più semplice, lega una o più proposizioni "semplici" (assunzioni e ipotesi) ad una o più proposizioni "semplici" (tesi) mediante un'implicazione logica, la quale implicazione deve essere dimostrabile secondo le regole logiche comunemente accettate.

Ciò implica che l'enunciato di un teorema (cioè la frase che trovi scritta sul libro dopo la parola Teorema), nella sua forma più semplice, è usualmente strutturato come segue:

Siano \(X\), \(Y\), ... , oggetti fatti così e così. [assunzioni sugli oggetti coinvolti nell'enunciato]
Se accade una certa cosa (coninvolgente uno o più degli oggetti \(X\), \(Y\), ...) [ipotesi del teorema], allora accade anche quest'altra cosa (coninvolgente uno o più degli oggetti \(X\), \(Y\), ...) [tesi del teorema].

Il costrutto "se... allora ..." rende in linguaggio naturale l'implicazione logica tra le ipotesi e la tesi ed aiuta a riconoscere queste ultime. Onfatti, il ipotesi le riconosci subito, perchè vengono dopo il primo "se"; analogamente, la tesi la riconosci subito, perchè viene dopo il primo "allora".
Inoltre, le assunzioni (che vengono all'inizio dell'enunciato servono a delimitare il campo di applicazione del teorema) potrebbero essere inglobate dopo il primo "se" senza alterare il senso della frase; quindi, esse non sono altro che ipotesi enunciate a parte, in via preliminare, per rendere più comprensibile l'enunciato.

Detto ciò... Quali sono le ipotesi e la tesi del tuo Teorema dei Valori Intermedi?

[Bulls1]

"gugo82":[quote="Bulls"][quote="gugo82"]No.

Partiamo da zero.
Che cos'è un teorema? Come è strutturato il suo enunciato?

E' un enunciato composto da ipotesi e tesi[/quote]
Soggetto, predicato, complemento... Formare frasi semplici aiuta a farsi comprendere dagli altri.

Ad ogni modo, un teorema è una proposizione "composta" che, nella forma più semplice, lega una o più proposizioni "semplici" (assunzioni e ipotesi) ad una o più proposizioni "semplici" (tesi) mediante un'implicazione logica, la quale implicazione deve essere dimostrabile secondo le regole logiche comunemente accettate.

Ciò implica che l'enunciato di un teorema (cioè la frase che trovi scritta sul libro dopo la parola Teorema), nella sua forma più semplice, è usualmente strutturato come segue:

Siano \(X\), \(Y\), ... , oggetti fatti così e così. [assunzioni sugli oggetti coinvolti nell'enunciato]
Se accade una certa cosa (coninvolgente uno o più degli oggetti \(X\), \(Y\), ...) [ipotesi del teorema], allora accade anche quest'altra cosa (coninvolgente uno o più degli oggetti \(X\), \(Y\), ...) [tesi del teorema].

Il costrutto "se... allora ..." rende in linguaggio naturale l'implicazione logica tra le ipotesi e la tesi ed aiuta a riconoscere queste ultime. Onfatti, il ipotesi le riconosci subito, perchè vengono dopo il primo "se"; analogamente, la tesi la riconosci subito, perchè viene dopo il primo "allora".
Inoltre, le assunzioni (che vengono all'inizio dell'enunciato servono a delimitare il campo di applicazione del teorema) potrebbero essere inglobate dopo il primo "se" senza alterare il senso della frase; quindi, esse non sono altro che ipotesi enunciate a parte, in via preliminare, per rendere più comprensibile l'enunciato.

Detto ciò... Quali sono le ipotesi e la tesi del tuo Teorema dei Valori Intermedi?[/quote]


Se f é continua sull'intervallo [a,b] e L é un numero compreso fra f(a) e f(b), allora esiste $c\in [a,b]$ tale che f(c)=L

ipotesi: f è continua nell'intervallo [a,b] e L è un numero compreso fra f(a) e f(b)
tesi: esiste \( c \in [a,b] \) tale che f(c)=L

[gugo82]

Ok, ci siamo quasi.

Ma ti prego di leggere bene l'enunciato che mi hai dato all'inizio, perchè contiene la risposta che cerchi, senza riscriverlo oltre.
Qui:

"Bulls":

Sia \( f:I \to \mathbb{R} \) una funzione continua, dove $ I $ è un intervallo.
Allora $ \forall y_1, y_2 \in Im f =f(I) $ con $ y_1 < y_2, $ si ha $ [y_1,y_2] \subseteq Im f $.

quali sono le ipotesi?

[Bulls1]

Sia \( f:I\rightarrow\Re \) una funzione continua, dove \( I \) è un intervallo, allora \( \forall y_1,y_2 \in Imf=f(I) \) con \( y_1

Cita

Segnala

[gugo82]

Quello che riporti è l'enunciato del teorema... Quali sono le ipotesi?

[Bulls1]

$ f(x) $ continua
$ \forally_1,y_2\inImf=f(I) $
$ y_1

Cita

Segnala