Teorema di Dini e Sviluppo di Taylor
Data la funzione $ F(x,y,z)=2*ln(x)+x*z+e^y-1-e $
1) utilizzando il Teorema del Dini, dimostrare che in un opportuno intorno del punto P = (1; 1; 1) l'equazione F(x; y; z) = 0 puo esprimersi mediante la forma z = f(x; y) con f di classe C1 in un intorno di (1; 1);
2) determinare lo sviluppo di Taylor di ordine due per f in (1; 1).
Il primo punto è di facile risoluzione. Nel secondo spesso mi blocco.
Il primo passo che faccio è quello di sostituire $ u=x-1 $ e $ v=y-1 $
A questo punto lo sviluppo centrato nell'origine $ (u,v) $ dovrebbe essere il seguente:
$ 2(u-u^2/2+o(u^2))+z(u+1)+(v+1+(v+1)^2/2+o(v^2))-1-e $
Come faccio ad estrarre gli sviluppi al primo e al secondo ordine in generale, e nel caso di specie?
Grazie in anticipo
1) utilizzando il Teorema del Dini, dimostrare che in un opportuno intorno del punto P = (1; 1; 1) l'equazione F(x; y; z) = 0 puo esprimersi mediante la forma z = f(x; y) con f di classe C1 in un intorno di (1; 1);
2) determinare lo sviluppo di Taylor di ordine due per f in (1; 1).
Il primo punto è di facile risoluzione. Nel secondo spesso mi blocco.
Il primo passo che faccio è quello di sostituire $ u=x-1 $ e $ v=y-1 $
A questo punto lo sviluppo centrato nell'origine $ (u,v) $ dovrebbe essere il seguente:
$ 2(u-u^2/2+o(u^2))+z(u+1)+(v+1+(v+1)^2/2+o(v^2))-1-e $
Come faccio ad estrarre gli sviluppi al primo e al secondo ordine in generale, e nel caso di specie?
Grazie in anticipo
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