Teorema di Dini applicato
Ciao a tutti,
stavo leggendo le seguenti dispense trovate online di meccanica Lagrangiana e non riesco a capire il perché della affermazione evidenziata. Cosa c'entra Dini col poter scrivere la posizione $X(q_l)$? Credo mi sfugga...
Grazie ragazzi
stavo leggendo le seguenti dispense trovate online di meccanica Lagrangiana e non riesco a capire il perché della affermazione evidenziata. Cosa c'entra Dini col poter scrivere la posizione $X(q_l)$? Credo mi sfugga...
Grazie ragazzi
Risposte
Semplicemente è l'applicazione del teorema del Dini alle $m$ equazioni (i vincoli).
In soldoni:
Hai un insieme di $n$ punti ciascuno munito di tre gradi di libertà $(x_i,y_i,z_i)$, per un totale di $3n$ gradi di libertà. Aggiungi $m<3n$ vincoli $f_k,k=1,...,m$, che riducono ovviamente i gradi di libertà complessivi, imponendo appunto delle limitazioni al moto del sistema di punti.
L'ipotesi che si fa è che gli $m$ vettori $\nabla f_k(x)=\left(\frac{\partial f_k}{\partial x_1},\frac{\partial f_k}{\partial y_1},\frac{\partial f_k}{\partial z_1},...,\frac{\partial f_k}{\partial x_n},\frac{\partial f_k}{\partial y_n},\frac{\partial f_k}{\partial z_n}\right) \in \mathbb{R}^{3n}$ con $k=1,...,m$ siano linearmente indipendenti tra loro, e questo equivale a chiedere che il rango della matrice jacobiana (che ha per righe tali vettori) sia massimo, cioè sia $m$, e ciò equivale a chiedere che abbia $m$ pivot, cioè che ognuno di tali vettori $\nabla f_k(x)$ possieda un elemento non nullo $\frac{\partial f_k}{\partial c_i} \ne 0$ con $c_i$ che non sia mai lo stesso per ciascun vettore (qui con $c_i$ intendo uno qualsiasi dei $x_1,y_1,z_1,...,x_n,y_n,z_n$, cioè $i=1,...,3n$).
Qui entra in gioco Dini: per tale teorema (essendo soddisfatte le sue ipotesi, e in particolare l'ipotesi che $\frac{\partial f_k}{\partial c_i} \ne 0$) esiste un'unica funzione $F: B_r(x_1,...,c_{i-1},c_{i+1},...,z_n) \subseteq \mathbb{R}^{3n-1} \to I_{\epsilon}(c_i) \subseteq \mathbb{R}$ tale che $c_i=F(x_1,...,c_{i-1},c_{i+1},...,z_n)$, cioè $c_i$ è esprimibile tramite tutte le altre $3n-1$ coordinate, ed è quindi superflua, e possiamo toglierla.
Iterando il ragionamento su ciascun vincolo $f_k$ arriviamo a togliere esattamente $m$ coordinate distinte $c_i$ ridondnati nella descrizione del sistema.
In termini umani e semplici: dati $n$ punti a cui corrispondono $3n$ gradi di libertà (tre per ogni punto), e dati $m<3n$ vincoli (per semplicità indipendenti dal tempo) $f_k: \mathbb{R}^{3n} \to \mathbb{R}$ con $k=1,...,m$, allora purché si assuma che la jacobiana delle $f_k$ abbia rango massimo (condizione affinché valga Dini), per Dini è possibile esplicitare in ciascun vincolo una delle $3n$ coordinate (chiamiamola $c_i$, che non è mai la stessa per due vincoli qualunque) rispetto a tutte le altre $3n-1$.
Quindi ovviamente tale coordinata $c_i=F(x_1,...,c_{i-1},c_{i+1},...,z_n)$, essendo funzione delle altre, è ridondante nella descrizione del sistema, e si può togliere. Ripetendo il ragionamento per ciascun vincolo finiamo per levare $m$ distinte coordinate $c_i$ dipendenti dalle altre restanti, e quindi infine avremo $l=3n-m < 3n$ coordinate rimanenti necessarie e sufficienti per descrivere il sistema. Queste sono appunto le coordinate lagrangiane $(q_1,...,q_l)$. Nota che avendo introdotto $m$ vincoli, giustamente il numero di coordinate necessarie per descrivere il sistema è diminuito ($l<3n$) dato che sono diminuiti i gradi di libertà complessivi.
In soldoni:
Hai un insieme di $n$ punti ciascuno munito di tre gradi di libertà $(x_i,y_i,z_i)$, per un totale di $3n$ gradi di libertà. Aggiungi $m<3n$ vincoli $f_k,k=1,...,m$, che riducono ovviamente i gradi di libertà complessivi, imponendo appunto delle limitazioni al moto del sistema di punti.
L'ipotesi che si fa è che gli $m$ vettori $\nabla f_k(x)=\left(\frac{\partial f_k}{\partial x_1},\frac{\partial f_k}{\partial y_1},\frac{\partial f_k}{\partial z_1},...,\frac{\partial f_k}{\partial x_n},\frac{\partial f_k}{\partial y_n},\frac{\partial f_k}{\partial z_n}\right) \in \mathbb{R}^{3n}$ con $k=1,...,m$ siano linearmente indipendenti tra loro, e questo equivale a chiedere che il rango della matrice jacobiana (che ha per righe tali vettori) sia massimo, cioè sia $m$, e ciò equivale a chiedere che abbia $m$ pivot, cioè che ognuno di tali vettori $\nabla f_k(x)$ possieda un elemento non nullo $\frac{\partial f_k}{\partial c_i} \ne 0$ con $c_i$ che non sia mai lo stesso per ciascun vettore (qui con $c_i$ intendo uno qualsiasi dei $x_1,y_1,z_1,...,x_n,y_n,z_n$, cioè $i=1,...,3n$).
Qui entra in gioco Dini: per tale teorema (essendo soddisfatte le sue ipotesi, e in particolare l'ipotesi che $\frac{\partial f_k}{\partial c_i} \ne 0$) esiste un'unica funzione $F: B_r(x_1,...,c_{i-1},c_{i+1},...,z_n) \subseteq \mathbb{R}^{3n-1} \to I_{\epsilon}(c_i) \subseteq \mathbb{R}$ tale che $c_i=F(x_1,...,c_{i-1},c_{i+1},...,z_n)$, cioè $c_i$ è esprimibile tramite tutte le altre $3n-1$ coordinate, ed è quindi superflua, e possiamo toglierla.
Iterando il ragionamento su ciascun vincolo $f_k$ arriviamo a togliere esattamente $m$ coordinate distinte $c_i$ ridondnati nella descrizione del sistema.
In termini umani e semplici: dati $n$ punti a cui corrispondono $3n$ gradi di libertà (tre per ogni punto), e dati $m<3n$ vincoli (per semplicità indipendenti dal tempo) $f_k: \mathbb{R}^{3n} \to \mathbb{R}$ con $k=1,...,m$, allora purché si assuma che la jacobiana delle $f_k$ abbia rango massimo (condizione affinché valga Dini), per Dini è possibile esplicitare in ciascun vincolo una delle $3n$ coordinate (chiamiamola $c_i$, che non è mai la stessa per due vincoli qualunque) rispetto a tutte le altre $3n-1$.
Quindi ovviamente tale coordinata $c_i=F(x_1,...,c_{i-1},c_{i+1},...,z_n)$, essendo funzione delle altre, è ridondante nella descrizione del sistema, e si può togliere. Ripetendo il ragionamento per ciascun vincolo finiamo per levare $m$ distinte coordinate $c_i$ dipendenti dalle altre restanti, e quindi infine avremo $l=3n-m < 3n$ coordinate rimanenti necessarie e sufficienti per descrivere il sistema. Queste sono appunto le coordinate lagrangiane $(q_1,...,q_l)$. Nota che avendo introdotto $m$ vincoli, giustamente il numero di coordinate necessarie per descrivere il sistema è diminuito ($l<3n$) dato che sono diminuiti i gradi di libertà complessivi.
Complimenti, ho capito! grazie assai.
Sono proprio tonto
Sono proprio tonto
Devi solo entrare nell'ottica 
Eh hai ragione, ma troppo spesso mi chiedo come ridordare tutto XD
Non devi ricordare tutto, sul momento devi fare le cose con precisione e devi capire bene il senso generale e idealmente riscrivere in tuoi appunti personali quanto da te appreso. Quando non ti ricordi qualcosa sfoglia il libro di testo e/o i tuoi appunti e, se sono cose che a loro tempo hai studiato con serietà, vedrai che ti ritorneranno in mente subito.
Su questo hai ragione, certe volte anche solo sfogliando mi torna in mente prima di arrivare anche sul punto preciso, tuttavia lo vedo sempre come un fallimento quando devo rimettere mano agli appunti. Mi piacerebbe, diciamo, arrivarci da solo 
Allora penso che siamo tutti falliti 
Se le cose vengono scritte un motivo c'è: il non doverle tenere sempre tutte a mente.
Se le cose vengono scritte un motivo c'è: il non doverle tenere sempre tutte a mente.
Mi scuso per l'OT con gli altri utenti, ma mi ha fatto paicere scambiare due battute.
Ti ringrazio ancora molto per l'aiuto (in tutti i sensi, anche per la paranoia )
Dato l'avvicinarsi delle feste ti mando anche un augurio!
Buona serata!
Ti ringrazio ancora molto per l'aiuto (in tutti i sensi, anche per la paranoia
)Dato l'avvicinarsi delle feste ti mando anche un augurio!
Buona serata!
Grazie , buone feste anche a te!
(Scusate anche me per l'off topic)
, buone feste anche a te!(Scusate anche me per l'off topic)
Procedendo con lo studio noto esserci un'altra domanda che vorrei porti, vediamo se avrai ancora voglia di darmi un suggerimento
Si tratta del teorema del valore regolare, il quale dice:
Sia $f_k:M->R|f_k=c_k$ con M varietà, sia $c_k\inImf$ t.c lo jabociano $||(\partialf_k^i)/(partialx^lambda)||$ ha rango max=k in tutti i punti di $f^(-1)(c)$ allora c è detto valore regolare.
Inoltre se c è valore regolare => $f^(-1)(c)$ è sottovarietà di dimensionone: dim(M)-k.
Veniamo alla questione:
La mia idea è questa, se io prendo $f_k$ con k=1 equazione di vincolo che mettiamo mi definisca un paraboloide, la mia varietà a questo punto posso immaginara immersa in $R^3$.
La funzione di vincolo bilatero sarebbe $f(x,y,z)=0$
- Da un lato per Dini questa mi dice che posso parametrizzare il paraboloide con sole due coordinate (che poi saranno le q coordinate lagranigane): infatti ho 3 coordinate x,y,z e un vincolo che mi porta a poter parametrizzare (o avere una inversa della parametrizzazione, la carta mappa che crea l'omeomorfismo) con R^2.
- dall'altro per il teorema del valore regolare io ho la varietà paraboloide di dimensione chiaramente 2 e l'equazione di vincolo $f(x,y,z)=0$ che rispetta la condizione di jabobiana di rango massimo 1, quindi il fogliettamento che ne induce dovrebbe dire che ho una sottovarietà di dimensione 2(dim varietà)-1(equazione)=1 Assurdo perché in realtà $f(x,y,z)=0$ descrive il paraboloide quindi dovrebbe essere di dimensione 2 comunque! (errore mio che non vedo)
Forse il tutto si risolverebbe se dicessi che le coordinate (x,y,z) sono a loro volta indotte da una carta su una varietà di dimensione 3 e che il paraboloide è il fogliettamento di essa? Cioè vedere il paraboloide come il fogliettamento di un'altra varietà.
Insomma non riesco bene a mettere assieme i due teoremi che mi pare in questo caso abbiano un legame.
Sono un po' perso. Spero di aver spiegato il dubbio.
Si tratta del teorema del valore regolare, il quale dice:
Sia $f_k:M->R|f_k=c_k$ con M varietà, sia $c_k\inImf$ t.c lo jabociano $||(\partialf_k^i)/(partialx^lambda)||$ ha rango max=k in tutti i punti di $f^(-1)(c)$ allora c è detto valore regolare.
Inoltre se c è valore regolare => $f^(-1)(c)$ è sottovarietà di dimensionone: dim(M)-k.
Veniamo alla questione:
La mia idea è questa, se io prendo $f_k$ con k=1 equazione di vincolo che mettiamo mi definisca un paraboloide, la mia varietà a questo punto posso immaginara immersa in $R^3$.
La funzione di vincolo bilatero sarebbe $f(x,y,z)=0$
- Da un lato per Dini questa mi dice che posso parametrizzare il paraboloide con sole due coordinate (che poi saranno le q coordinate lagranigane): infatti ho 3 coordinate x,y,z e un vincolo che mi porta a poter parametrizzare (o avere una inversa della parametrizzazione, la carta mappa che crea l'omeomorfismo) con R^2.
- dall'altro per il teorema del valore regolare io ho la varietà paraboloide di dimensione chiaramente 2 e l'equazione di vincolo $f(x,y,z)=0$ che rispetta la condizione di jabobiana di rango massimo 1, quindi il fogliettamento che ne induce dovrebbe dire che ho una sottovarietà di dimensione 2(dim varietà)-1(equazione)=1 Assurdo perché in realtà $f(x,y,z)=0$ descrive il paraboloide quindi dovrebbe essere di dimensione 2 comunque! (errore mio che non vedo)
Forse il tutto si risolverebbe se dicessi che le coordinate (x,y,z) sono a loro volta indotte da una carta su una varietà di dimensione 3 e che il paraboloide è il fogliettamento di essa? Cioè vedere il paraboloide come il fogliettamento di un'altra varietà.
Insomma non riesco bene a mettere assieme i due teoremi che mi pare in questo caso abbiano un legame.
Sono un po' perso. Spero di aver spiegato il dubbio.
Ciao!
Guarda sto studiando anche io in questo periodo la geometria differenziale (e le varietà differenziabili quindi) e quindi onde evitare di dire castronerie mi asterrei dal rispondere per il momento
Ti consiglio di postare il tuo dubbio aprendo un nuovo thread nella sezione Geometria del forum, avrai sicuramente maggior possibilità che qualche utente più esperto ti risponda.
In bocca al lupo con lo studio!
Guarda sto studiando anche io in questo periodo la geometria differenziale (e le varietà differenziabili quindi) e quindi onde evitare di dire castronerie mi asterrei dal rispondere per il momento
Ti consiglio di postare il tuo dubbio aprendo un nuovo thread nella sezione Geometria del forum, avrai sicuramente maggior possibilità che qualche utente più esperto ti risponda.
In bocca al lupo con lo studio!
Grazie, seguo il tuo consiglio allora.
Buono studio anche a te.
Buono studio anche a te.
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