Teorema di dini

[enr87]

sul mio libro fanno un esempio a riguardo: sia $ g(x,y) = x^2 + y^2 - 1$ , allora g(x,y) = 0 è l'equazione della circonferenza unitaria e $g_y(x_0,y_0) = 2y_ \ne 0 $ se $ y_0 \ne 0 $. a questo punto, per $y_0 \ne 0$, posso applicare dini e affermare che esiste una funzione implicita $f(x)$ $( = sqrt{1-x^2}$ se $y_0 > 0, -sqrt{1-x^2}$ se $y_0 < 0$).
poi mi dicono che nei punti $(\pm 1, 0)$ della circonferenza in cui $g_y = 0$, non si può più rappresentare localmente la circonferenza come grafico di una funzione f(x), e qui sta il problema: non capisco se questa affermazione deriva dalla definizione di funzione, per cui ad una x posso associare una ed una sola y, oppure dal teorema di dini stesso, che però fornisce solo una condizione sufficiente (non necessaria) per l'esistenza della funzione implicita. questo dubbio deriva dal fatto che hanno specificato $g_y = 0$, il che mi fa pensare che abbiano usato dini.. però non è detto che non esista f(x) se non è soddisfatta questa condizione

[dissonance]

No no, ti dicono che intorno ai punti $(+-1, 0)$ non puoi rappresentare la circonferenza come grafico di una funzione della $x$ per definizione di funzione. Ricordati il trucchetto: il grafico di una funzione della $x$ deve essere una linea senza "pezzi" verticali e che non "torna indietro" (lo sto dicendo con i piedi, spero che tu capisca a cosa mi riferisco).

Inoltre hai capito bene qui:

però non è detto che non esista f(x) se non è soddisfatta questa condizione

Giusto: il teorema del Dini fornisce solo condizioni sufficienti, non necessarie e sufficienti.

[enr87]

sì, per la definizione di funzione è ok: siccome nel testo non c'era alcun riferimento a questo, però, mi era venuto il dubbio (edit: no, mi sono accorto che c'era: quando dicono del grafico di f, pardon)
grazie per ora, ma credo che romperò ancora le scatole su questo teorema in futuro