Teorema di Dini

[Booom1]

Salve, volevo chiedervi come posso fare per risolvere questo esercizio:

Data l'equazione:

$ f(x;y;z)=zy + x^2 -4^z +z^2 -4 $

verificare che in un intorno di $ P=(4;0;2) $ è possibile esplicitare la variabile $ z $ come $ z= h(x;y) $. Scrivere l'equazione del piano tangente ad $ h $ in $ (4;0) $ e calcolare $ h_(x x)(4;0) $ .

[walter891]

Cosa dice il teorema? Comincia a vedere se le ipotesi sono tutte verificate, poi procedi col calcolo delle derivate di $h$ che ti servono

[Booom1]

Ciao! Allora il teorema dice:

1) $ f(x;y;z)=zy + x^2 -4^z +z^2 -4 $ appartiene a $ C^1 $ in $ R^3 $ (ok)
2) $ f(4,0,2) =0 $ $ 0+16-16+4-4=0 $ (ok)
3) $f_z(4,0,2) ≠0 $ $ f_z=y-4^z(ln(4))+2z $ calcolata in $ P=(4,0,2) $ otterrò $ 0-16ln(4)+4 $ (ok)

E fino qui credo nessun problema.

Ora come devo procedere per scrivere $ z=h(x,y) $ ?


Grazie mille!

[walter891]

Non la puoi scrivere! Il teorema ti garantisce che esiste ma essendo definita implicitamente in generale non può avere un'espressione analitica: però puoi calcolare le sue derivate con le quali trovare il piano tangente.
In realtà il testo è un po' ambiguo perchè dice di verificare che è possibile esplicitarla ma qui non mi sembra che si possa fare...

[Booom1]

E quindi come faccio a scrivere il piano tangente se non posso esplicitare z e ho cmq le 3 variabili? Il punto è (x,y)=(4,0)

[walter891]

le conseguenza del teorema ti dicono che $h_x(4,0)=-f_x(4,0)/f_z(4,0)$ e analogamente $h_y(4,0)=-f_y(4,0)/f_z(4,0)$, con questi valori poi hai tutto per trovare il piano tangente

[Booom1]

Altra domanda: ma quando il testo dice "sviluppare con taylor fino all'ordine necessario..." Come si fa a capire l'ordine dove ci si deve arrestare?